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13.2 Théorème de Runge
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Démonstration. Soient γ 1 , . . . , γ n comme en 13.2.5. Pour 1 p n, il résulte de
13.2.3 qu’il existe λ p,1 , . . . , λ p,m(p) ∈ C et w p,1 , . . . , w p,m(p) ∈ im γ p tels que, si
Q p (z) =
m(p)
j=1
λ p,j
z − w p,j
,
on ait :
sup
1
2iπ
γi
f (ζ)
ζ − z
dζ − Q p (z)
; z ∈ K
ε
n
·
On a alors le résultat en considérant la somme des Q p et en appliquant 13.2.5.
13.2.7. Soit K un compact de C. Dans la suite, on note L (K) l’ensemble des
fonctions f sur K pour lesquelles il existe un voisinage V de K et g ∈ H(V ) vérifiant
g|K = f . On a L (K) ⊂ C (K).
Si A est une partie de C, on désigne par C A (X) l’ensemble des fonctions rationnelles
dont les pôles appartiennent à A.
Proposition 13.2.8. Soient K un compact de C et A une partie de C\K. On suppose
que, pour toute composante connexe bornée C de C\K, on a A ∩ C = ∅. Alors, pour
tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe g ∈ C A (X) vérifiant f − g K ε.
Démonstration. Comme f ∈ L (K), il résulte de 13.2.6 qu’il existe un compact L
de C vérifiant L ∩ K = ∅, λ 1 , . . . , λ n ∈ C, et w 1 , . . . , w n ∈ L tels que, si
g(z) =
n
i=1
λ i
z − w i
,
on ait f − g K ε/2.
Soit C i la composante connexe de C\K contenant w i .
• Si C i est bornée, il existe ζ i ∈ A ∩ Z i . D’après 13.2.2, (i), il existe un polynôme g i
en (z − ζ i ) −1 tel que :
sup
g i (z) −
λ i
z − ζ i
; z ∈ K
ε
2n
·
• Supposons C i non bornée. Il existe (13.2.2, (ii)) un polynome g i tel que
sup
g i (z) −
λ i
z − ζ i
; z ∈ K
ε
2n
·
Si l’on pose g = g 1 + · · · + g n , on a alors f − g K ε.
Corollaire 13.2.9. Soient U un ouvert de C et K un compact de U . On suppose que,
pour toute composante connexe bornée C de C\K, on a C ∩ (C\U ) = ∅. Pour tout
ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe une fraction rationnelle g holomorphe dans U telle
que f − g K ε.
Démonstration. On peut prendre A ∩ U = ∅ dans 13.2.8.