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13 • Quelques grands classiques
Si γ est l’un de ces segments, et si im γ ∩ K = ∅, alors im γ est le côté de deux carrés
rencontrant K. Par suite, on a :
n
i=1
im γ i ⊂ U \K.
Les segments orientés qui sont des côtés communs à deux carrés distincts interviennent
avec des orientations opposées.
Par suite, si z ∈ U \(im θ 1 ∪ · · · ∪ im θ k ), on a :
k
p=1
θk
f (ζ)
ζ − z
dζ =
n
i=1
γi
f (ζ)
ζ − z
dζ.
(5)
D’autre part, d’après 13.2.4, si z est intérieur à C i et si j = i, il vient :
1
2iπ
θi
f (ζ)
ζ − z
dζ = f (z) ,
1
2iπ
θj
f (ζ)
ζ − z
dζ = 0.
(6)
On en déduit que la formule (4) est vraie si z appartient à la réunion des intérieurs des
C j , 1 j k.
Soit z ∈ K appartenant à la frontière d’un carré C j . D’après ce que l’on a déjà dit,
on a z /
∈ im γ i pour 1 i n. Soit (z p ) p une suite de points de l’intérieur de C j
de limite z. Il existe ρ > 0 tel que |(ζ − z)(ζ − z p )| ρ pour p ∈ N et ζ ∈ im γ i ,
1 i n. On a alors :
γi
f (ζ)
ζ − z n
dζ −
γi
f (ζ)
ζ − z
dζ
|z − z n |
ρ
long(γ i ) sup{|f (ζ)| ; ζ ∈ im γ i }.
Compte tenu de (5) et (6), on obtient alors (4) pour z.
Corollaire 13.2.6. Soient U un ouvert de C et K un compact de U . Il existe des
segments orientés γ 1 , . . . , γ n dans U \K tels que, pour tout ε > 0 et tout f ∈ H(U ),
il existe λ 1 , . . . , λ k ∈ C et w 1 , . . . , w k ∈ im γ 1 ∪ · · · ∪ im γ n , vérifiant :
sup
f (z) −
k
p=1
λ p
z − w p
; z ∈ K
ε.