© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
13.2 Théorème de Runge
171
13.2.4. Soient a ∈ C et r, s > 0. On note R(a, r, s) le rectangle constitué des points
z ∈ C vérifiant Re(a) Re(z) Re(a) + r et Im(a) Im(z) Im(a) + s. On
désigne par γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 les chemins définis respectivement, pour 0 t 1, par :
γ 1 (t) = a + rt , γ 2 (t) = a + r + ist , γ 3 (t) = a + r + is − irt , γ 4 (t) = a + is − ist.
Le bord orienté γ = γ R(a,r,s) est le chemin fermé :
γ = γ 1 ∨
γ 2 ∨ (γ 3 ∨ γ 4 )
.
Lemme. Soient U un ouvert de C contenant R = R(a, r, s) et f ∈ H(U ). Alors :
1
2iπ
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ =
f (z) si z ∈
◦
R,
0 si z /
∈ R.
Démonstration. Il existe ε > 0 tel que, si R 1 = R(a − ε − iε, r + 2ε, s + 2ε), on ait
R ⊂
◦
R 1 et R 1 ⊂ U . Comme
◦
R 1 est convexe, donc simplement connexe (10.1.10), on
a le résultat si z /
∈ R d’après 10.4.2 et 10.4.4.
Supposons z ∈
◦
R. D’après 10.3.5, ind γ (z) = ind γ (z 0 ), où z 0 = a +
r
2
+
is
2
(c’est le
« centre » de R). Pour obtenir le résultat, il suffit (6.4.7) de prouver que ind γ (z 0 ) = 1.
Soit ρ > 0 tel que D (z 0 , ρ) ⊂
◦
R. L’application
δ : [0, 1] × [0, 1] → C , (t, u) → uz 0 + ρu
γ(t) − z 0
|γ(t) − z 0 |
+ (1 − u)γ(t)
est une homotopie, dans
◦
R\{z 0 }, de γ au cercle C(z 0 , ρ) parcouru dans le sens direct.
On a donc obtenu le résultat d’après 6.4.8 et 10.4.1.
Proposition 13.2.5. Soient U un ouvert de C et K un compact non vide de U . Il existe
des segments orientés γ 1 , . . . , γ n dans U \K, d’images horizontales ou verticales, de
même longueur, tels que pour tout f ∈ H(U ) et tout z ∈ K, on ait :
f (z) =
1
2iπ
n
k=1
γk
f (ζ)
ζ − z
dζ.
(4)
Démonstration. On peut supposer que U est borné. Posons d(K, C\U ) = δ > 0.
Considérons l’ensemble des points Zd + iZd de C, avec
√
2d < δ. Chaque « maille »
de ce réseau est un carré compact. Comme K est compact, il ne rencontre qu’un
nombre fini de ces carrés ; notons les C 1 , · · · , C k . D’après le choix de d, il est immédiat que K ⊂ C 1 ∪ · · · ∪ C k ⊂ U .
Pour 1 i k, notons θ k le bord orienté de C k (voir 13.2.4). Chaque θ k est composé
de quatre segments orientés θ k,j , 1 j 4, dont les images sont parallèles aux axes.
Parmi les segments orientés précédents, considérons ceux qui ne sont pas un côté de
deux carrés C r et C s , avec r = s. Notons les γ 1 , . . . , γ n .
13.2 Théorème de Runge
171
13.2.4. Soient a ∈ C et r, s > 0. On note R(a, r, s) le rectangle constitué des points
z ∈ C vérifiant Re(a) Re(z) Re(a) + r et Im(a) Im(z) Im(a) + s. On
désigne par γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 4 les chemins définis respectivement, pour 0 t 1, par :
γ 1 (t) = a + rt , γ 2 (t) = a + r + ist , γ 3 (t) = a + r + is − irt , γ 4 (t) = a + is − ist.
Le bord orienté γ = γ R(a,r,s) est le chemin fermé :
γ = γ 1 ∨
γ 2 ∨ (γ 3 ∨ γ 4 )
.
Lemme. Soient U un ouvert de C contenant R = R(a, r, s) et f ∈ H(U ). Alors :
1
2iπ
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ =
f (z) si z ∈
◦
R,
0 si z /
∈ R.
Démonstration. Il existe ε > 0 tel que, si R 1 = R(a − ε − iε, r + 2ε, s + 2ε), on ait
R ⊂
◦
R 1 et R 1 ⊂ U . Comme
◦
R 1 est convexe, donc simplement connexe (10.1.10), on
a le résultat si z /
∈ R d’après 10.4.2 et 10.4.4.
Supposons z ∈
◦
R. D’après 10.3.5, ind γ (z) = ind γ (z 0 ), où z 0 = a +
r
2
+
is
2
(c’est le
« centre » de R). Pour obtenir le résultat, il suffit (6.4.7) de prouver que ind γ (z 0 ) = 1.
Soit ρ > 0 tel que D (z 0 , ρ) ⊂
◦
R. L’application
δ : [0, 1] × [0, 1] → C , (t, u) → uz 0 + ρu
γ(t) − z 0
|γ(t) − z 0 |
+ (1 − u)γ(t)
est une homotopie, dans
◦
R\{z 0 }, de γ au cercle C(z 0 , ρ) parcouru dans le sens direct.
On a donc obtenu le résultat d’après 6.4.8 et 10.4.1.
Proposition 13.2.5. Soient U un ouvert de C et K un compact non vide de U . Il existe
des segments orientés γ 1 , . . . , γ n dans U \K, d’images horizontales ou verticales, de
même longueur, tels que pour tout f ∈ H(U ) et tout z ∈ K, on ait :
f (z) =
1
2iπ
n
k=1
γk
f (ζ)
ζ − z
dζ.
(4)
Démonstration. On peut supposer que U est borné. Posons d(K, C\U ) = δ > 0.
Considérons l’ensemble des points Zd + iZd de C, avec
√
2d < δ. Chaque « maille »
de ce réseau est un carré compact. Comme K est compact, il ne rencontre qu’un
nombre fini de ces carrés ; notons les C 1 , · · · , C k . D’après le choix de d, il est immédiat que K ⊂ C 1 ∪ · · · ∪ C k ⊂ U .
Pour 1 i k, notons θ k le bord orienté de C k (voir 13.2.4). Chaque θ k est composé
de quatre segments orientés θ k,j , 1 j 4, dont les images sont parallèles aux axes.
Parmi les segments orientés précédents, considérons ceux qui ne sont pas un côté de
deux carrés C r et C s , avec r = s. Notons les γ 1 , . . . , γ n .