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13 • Quelques grands classiques
Démonstration. (i) Si a ∈ V , notons E a l’ensemble des points b de V pour lesquels
la condition (i) est vérifiée. On a a ∈ E a . Soit δ = d(a, K) > 0.
Soit b ∈ V tel que |a − b| < δ/4. Alors d(b, K) (3δ)/4. Par suite, la série
1
z − a
=
∞
n=0
(−1)
n (b − a) n
(z − b) n+1
est normalement convergente sur K. En prenant pour P une somme partielle convenable de cette série, on voit que b ∈ E a . Ainsi, E a est un ouvert non vide de V .
Soit c ∈ V adhérent à E a . Comme précédemment, on voit qu’il existe b ∈ E a tel que
c ∈ E b . Il est alors immédiat que c ∈ E a . Ainsi, E a est fermé dans V . L’ensemble V
étant connexe, on a E a = V .
(ii) Supposons que V soit la composante connexe non bornée de C\K. Il existe
b ∈ V \{0} tel que K ⊂ D(0, |b|). Pour n ∈ N et z ∈ K, la série
1
(z − b) n = (−1)
n
∞
k=0
(k + n − 1)!
k!(n − 1)!
z k
b n+k
est normalement convergente sur K. On a alors facilement le résultat d’après (i).
Lemme 13.2.3. Soient K un compact de C, γ un chemin vérifiant K ∩ im γ = ∅, et
h une fonction continue sur im γ. Pour tout ε > 0, il existe w 1 , . . . , w m ∈ im γ et
λ 1 , . . . , λ m ∈ C tels que :
sup
γ
h(ζ)
ζ − z
dζ −
m
k=1
λ k
z − w k
; z ∈ K
ε.
Démonstration. Soient 0 = s 0 < s 1 < · · · < s r = 1 tels que γ soit de classe C 1 sur
chaque intervalle [s i , s i+1 ]. Fixons M > 0 tel que |γ (t)| M pour t ∈ [s i , s i+1 ],
0 i r − 1.
La fonction : [0, 1] × K → C, (t, z) →
h
γ(t)
γ(t) − z
est continue, donc uniformément
continue sur le compact [0, 1] × K. Il existe donc η > 0 tel que, si |t − t | η, on ait
|(t, z) − (t , z)| εM −1 pour tout z ∈ K.
Fixons une subdivision 0 = t 0 < t 1 < · · · < t m = 1 de [0, 1] telle que |t i − t i+1 | η
pour 0 i m − 1. Si z ∈ K et t i t t i+1 , il vient :
h
γ(t)
γ(t) − z
−
h
γ(t i )
γ(t i ) − z
ε
M
·
En posant
Q(z) =
m−1
i=0
h
γ(t i )
γ(t i+1 ) − γ(t i )
γ(t i ) − z
,
on obtient :
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ − Q(z)
m−1
i=0
ti+1
ti
|γ
(t)|
h
γ(t)
γ(t) − z
−
h
γ(t i )
γ(t i ) − z
dt
Mε
M
= ε.
D’où l’assertion.
13 • Quelques grands classiques
Démonstration. (i) Si a ∈ V , notons E a l’ensemble des points b de V pour lesquels
la condition (i) est vérifiée. On a a ∈ E a . Soit δ = d(a, K) > 0.
Soit b ∈ V tel que |a − b| < δ/4. Alors d(b, K) (3δ)/4. Par suite, la série
1
z − a
=
∞
n=0
(−1)
n (b − a) n
(z − b) n+1
est normalement convergente sur K. En prenant pour P une somme partielle convenable de cette série, on voit que b ∈ E a . Ainsi, E a est un ouvert non vide de V .
Soit c ∈ V adhérent à E a . Comme précédemment, on voit qu’il existe b ∈ E a tel que
c ∈ E b . Il est alors immédiat que c ∈ E a . Ainsi, E a est fermé dans V . L’ensemble V
étant connexe, on a E a = V .
(ii) Supposons que V soit la composante connexe non bornée de C\K. Il existe
b ∈ V \{0} tel que K ⊂ D(0, |b|). Pour n ∈ N et z ∈ K, la série
1
(z − b) n = (−1)
n
∞
k=0
(k + n − 1)!
k!(n − 1)!
z k
b n+k
est normalement convergente sur K. On a alors facilement le résultat d’après (i).
Lemme 13.2.3. Soient K un compact de C, γ un chemin vérifiant K ∩ im γ = ∅, et
h une fonction continue sur im γ. Pour tout ε > 0, il existe w 1 , . . . , w m ∈ im γ et
λ 1 , . . . , λ m ∈ C tels que :
sup
γ
h(ζ)
ζ − z
dζ −
m
k=1
λ k
z − w k
; z ∈ K
ε.
Démonstration. Soient 0 = s 0 < s 1 < · · · < s r = 1 tels que γ soit de classe C 1 sur
chaque intervalle [s i , s i+1 ]. Fixons M > 0 tel que |γ (t)| M pour t ∈ [s i , s i+1 ],
0 i r − 1.
La fonction : [0, 1] × K → C, (t, z) →
h
γ(t)
γ(t) − z
est continue, donc uniformément
continue sur le compact [0, 1] × K. Il existe donc η > 0 tel que, si |t − t | η, on ait
|(t, z) − (t , z)| εM −1 pour tout z ∈ K.
Fixons une subdivision 0 = t 0 < t 1 < · · · < t m = 1 de [0, 1] telle que |t i − t i+1 | η
pour 0 i m − 1. Si z ∈ K et t i t t i+1 , il vient :
h
γ(t)
γ(t) − z
−
h
γ(t i )
γ(t i ) − z
ε
M
·
En posant
Q(z) =
m−1
i=0
h
γ(t i )
γ(t i+1 ) − γ(t i )
γ(t i ) − z
,
on obtient :
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ − Q(z)
m−1
i=0
ti+1
ti
|γ
(t)|
h
γ(t)
γ(t) − z
−
h
γ(t i )
γ(t i ) − z
dt
Mε
M
= ε.
D’où l’assertion.