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13.2 Théorème de Runge
169
D
0,
R
n 1
\{0} est la réunion des C k , on voit que a est une fausse singularité de f
(8.2.2). Contradiction.
Comme f ne s’annule pas dans U \{0}, on a g =
1
f
∈ H(U \{0}). D’autre part, 0 est
point singulier essentiel de g, car sinon, f ∈ M(U ) (8.3.3). Remplaçant f par g dans
le raisonnement précédent, on obtient que
m n = inf
|f (z)| ; |z| =
R
n
tend vers 0 si n tend vers +∞.
Pour n assez grand, on a donc m n < 1 < M n . Par suite, il existe un réel α n tel que
f
R
n
e iαn
= 1. Définissons h n ∈ H(U \{0}) par
g n (z) = f
z
n
e
iαn
.
On a 0, 1 /
∈ g(U \{0}) et |g n (R)| = 1 si n est au moins égal à un entier n 0 . Compte
tenu de 13.1.3, il existe un réel δ > 0 tel que, pour tout n n 0 , on ait :
M n = sup{|g n (z)| ; |z| = R} δ.
Cela contredit le début de la preuve. D’où le théorème.
13.2 THÉORÈME DE RUNGE
13.2.1. Soit K un compact de C. La même preuve qu’en 6.3.1 montre que C\K a
une unique composante connexe non bornée.
Dans la suite, C (K) désigne l’ensemble des fonctions continues sur K. Pour
f ∈ C (K), on pose :
f K = sup{|f (z)| ; z ∈ K}.
L’application f → →f K est une norme sur C (K) et, muni de cette norme, C (K) est
un C-espace vectoriel normé complet.
Proposition 13.2.2. Soient K un compact de C, V une composante connexe de C\K,
et a, b ∈ V .
(i) Pour tout ε > 0, il existe un polynôme P tel que :
sup
1
z − a
− P
1
z − b
; z ∈ K
ε.
(ii) Si V est la composante connexe non bornée de C\K, pour tout ε > 0, il existe
un polynôme P tel que :
sup
1
z − a
− P (z)
; z ∈ K
ε.