168
13 • Quelques grands classiques
si z /
∈ V (b, M ) et 2|z − z | < d(z, C\U ), alors z /
∈ V (b, M ). Ainsi, V (b, M ) et
C\V (b, M ) sont des ouverts de U . La connexité de U implique que ou V (b, M ) = U ,
ou V (b, U ) = ∅. D’après l’hypothèse et le cas particulier, on a V (a, M ) = U .
Toujours d’après le cas particulier, si c ∈ V (a, M ) = U , pour tout disque compact D
de centre c, contenu dans U , il existe une constante M D telle que, pour tout f ∈ P,
on ait sup{|f (z)| ; z ∈ D} M D . Tout compact de U pouvant être recouvert par un
nombre fini de disques compacts contenus dans U , on a obtenu le résultat.
Théorème 13.1.4. (Petit théorème de Picard). Soit f une fonction entière non
constante. L’ensemble C\f (C) contient au plus un élément.
Démonstration. Supposons que f ne prenne pas les valeurs α, β, avec α = β. Quitte
à changer f en z →
f (z) − α
/(β − α), on peut supposer α = 0 et β = 1.
D’après la preuve de 13.1.3, il existe une fonction entière non constante g et un réel
δ > 0 tel que l’image de g ne contienne aucun disque ouvert de rayon supérieur à δ.
Pour R > 0 et |z| R, posons θ(R) = sup{(R − |z|)|g (z)| ; |z| R}. Il
existe ζ ∈ C tel que g (ζ) = 0 (sinon g est constante). Pour R |ζ|, on a
θ(R) (R − |ζ|)|g (ζ)|. Par suite, θ(R) tend vers +∞ si R tend vers +∞. D’après
13.1.2, pour tout ρ > 0, g(C) contient un disque de rayon
ρ
16
· Contradiction. D’où le
résultat.
Remarque. On peut avoir ou card
C\f (C)
= 0 (cas de z → z), ou
card
C\f (C)
= 1 (cas de z → e z ).
Théorème 13.1.5. (Grand théorème de Picard). Soient U un ouvert de C, a ∈ U ,
et f ∈ H(U \{a}) ayant une singularité essentielle en a. Pour tout nombre complexe
ζ ∈ C, sauf un au plus, il existe une suite (z n ) n d’éléments de U vérifiant :
lim
n
z n = a , lim
n
f (z n ) = ζ.
Démonstration. On peut supposer que a = 0 et que U est un disque D(a, 2R),
avec R > 0. Il faut prouver que card
C\f (C)
1. Supposons que cet ensemble
contienne au moins deux éléments. On peut supposer que {0, 1} ⊂ C\f (C) (car, si
α ∈ C ∗ et β ∈ C, f et αf + β ont les mêmes singularités).
Pour n ∈ N ∗ , posons :
M n = sup
|f (z)| ; |z|
R
n
.
Montrons que M n tend vers +∞ si n tend vers +∞. Si ce n’est pas le cas, il existe
une suite strictement croissante k → n k d’entiers strictement positifs et M > 0 tels
que M nk M pour tout k. En appliquant le principe du maximum dans la couronne
fermée C k définie par
R
n k+1
et
R
n k
, on obtient |f (z)| M pour tout z ∈ C k . Comme
13 • Quelques grands classiques
si z /
∈ V (b, M ) et 2|z − z | < d(z, C\U ), alors z /
∈ V (b, M ). Ainsi, V (b, M ) et
C\V (b, M ) sont des ouverts de U . La connexité de U implique que ou V (b, M ) = U ,
ou V (b, U ) = ∅. D’après l’hypothèse et le cas particulier, on a V (a, M ) = U .
Toujours d’après le cas particulier, si c ∈ V (a, M ) = U , pour tout disque compact D
de centre c, contenu dans U , il existe une constante M D telle que, pour tout f ∈ P,
on ait sup{|f (z)| ; z ∈ D} M D . Tout compact de U pouvant être recouvert par un
nombre fini de disques compacts contenus dans U , on a obtenu le résultat.
Théorème 13.1.4. (Petit théorème de Picard). Soit f une fonction entière non
constante. L’ensemble C\f (C) contient au plus un élément.
Démonstration. Supposons que f ne prenne pas les valeurs α, β, avec α = β. Quitte
à changer f en z →
f (z) − α
/(β − α), on peut supposer α = 0 et β = 1.
D’après la preuve de 13.1.3, il existe une fonction entière non constante g et un réel
δ > 0 tel que l’image de g ne contienne aucun disque ouvert de rayon supérieur à δ.
Pour R > 0 et |z| R, posons θ(R) = sup{(R − |z|)|g (z)| ; |z| R}. Il
existe ζ ∈ C tel que g (ζ) = 0 (sinon g est constante). Pour R |ζ|, on a
θ(R) (R − |ζ|)|g (ζ)|. Par suite, θ(R) tend vers +∞ si R tend vers +∞. D’après
13.1.2, pour tout ρ > 0, g(C) contient un disque de rayon
ρ
16
· Contradiction. D’où le
résultat.
Remarque. On peut avoir ou card
C\f (C)
= 0 (cas de z → z), ou
card
C\f (C)
= 1 (cas de z → e z ).
Théorème 13.1.5. (Grand théorème de Picard). Soient U un ouvert de C, a ∈ U ,
et f ∈ H(U \{a}) ayant une singularité essentielle en a. Pour tout nombre complexe
ζ ∈ C, sauf un au plus, il existe une suite (z n ) n d’éléments de U vérifiant :
lim
n
z n = a , lim
n
f (z n ) = ζ.
Démonstration. On peut supposer que a = 0 et que U est un disque D(a, 2R),
avec R > 0. Il faut prouver que card
C\f (C)
1. Supposons que cet ensemble
contienne au moins deux éléments. On peut supposer que {0, 1} ⊂ C\f (C) (car, si
α ∈ C ∗ et β ∈ C, f et αf + β ont les mêmes singularités).
Pour n ∈ N ∗ , posons :
M n = sup
|f (z)| ; |z|
R
n
.
Montrons que M n tend vers +∞ si n tend vers +∞. Si ce n’est pas le cas, il existe
une suite strictement croissante k → n k d’entiers strictement positifs et M > 0 tels
que M nk M pour tout k. En appliquant le principe du maximum dans la couronne
fermée C k définie par
R
n k+1
et
R
n k
, on obtient |f (z)| M pour tout z ∈ C k . Comme