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13.1 Théorèmes de Picard
167
d) Pour x ∈ R + , soit (x) = ln(
√
x + 2 −
√
x + 1) − ln(
√
x + 1 −
√
x). Un calcul
facile prouve que est une fonction strictement décroissante. On en déduit (faire un
dessin pour bien comprendre la situation) que, pour n ∈ N, p ∈ Z, et ε = ±1, on a :
|ζ ε,n,p − ζ ε,n±1,p±1 | δ =
[ln(
√
2 + 1)] 2 +
π 2
4
.
e) D’après les alinéas c) et d), si ∆ est un disque ouvert contenu dans g(U ), son
diamètre est au plus égal à δ.
Soient ρ tel que 0 < ρ < sup{(R − |z|)|g (z)| ; z ∈ U } et µ comme en 13.1.2.
D’après ce qui précède, on a 2µρ δ. Par suite, si z ∈ U :
|g
(z)|
δ
2µ(R − |z|)
·
Supposons |z| r < R. D’après le principe du maximum et ce qui précède, il vient :
|g
(z)| sup{|g
(ζ)| ; |ζ| = r}
δ
2µ(R − r)
·
Il résulte alors de 2.4.1 et de (3) que :
|g(z)| |g(z) − g(0)| + |g(0)| M 3 +
δr
µ(R − r)
= M 3 (r).
Si M 2 (r) = exp[M 3 (r)], il vient alors :
1
M 2 (r)
|f 2 (z)| M 2 (r).
D’où :
|f 1 (z)| =
1
4
f 2 (z) +
1
f 2 (z)
2 M 2 (r)
2 = M 1 (r).
Enfin, de f = e 2iπf1 , on déduit que, si M (r) = exp
2πM 1 (r)
, alors
1
M (r)
|f (z)| M (r)
pour |z| r. On a obtenu le résultat lorsque U = D(0, R) et a = 0.
2) Envisageons le cas général. Pour b ∈ U et M 1, notons P(b, M ) l’ensemble
des f ∈ H(U ) vérifiant :
f (U ) ⊂ C\{0, 1} ,
1
M
|f (b)| M.
Soit enfin V (b, M ) l’ensemble des z ∈ U pour lesquels il existe M (z) 1 vérifiant,
pour tout f ∈ P(b, M ) :
1
M (z)
|f (z)| M (z).
D’après l’étude du cas particulier, V (b, M ) est un ouvert de U . Plus précisément, on
a même obtenu le résultat suivant : si z ∈ V (b, M ) et si |z − z | < d(z, C\U ), alors
z ∈ V (b, M ). Comme |d(z, C\U ) − d(z , C\U )| |z − z |, on voit donc que,