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13 • Quelques grands classiques
Théorème. Soient U un ouvert connexe de C, a ∈ U , et M 1 un réel. On note P
la partie de H(U ) formée des fonctions f vérifiant :
0 /
∈ f (U ) , 1 /
∈ f (U ) ,
1
M
|f (a)| M.
Alors P est une partie bornée de H(U ).
Démonstration. 1) Supposons tout d’abord que U soit un disque D(0, R), avec
R > 0, et que a = 0. En particulier, U est simplement connexe.
a) Si f ∈ P, f ne s’annule pas dans U . Il existe f 1 ∈ H(U ) vérifiant f = exp(2iπf 1 )
(12.2.5). Quitte à ajouter un entier à f 1 , on peut supposer que | Re f 1 (0)|
1
2
· D’autre
part, comme −2π Im f 1 (0) = ln |f (0)| ∈ [− ln M, ln M ], on obtient :
|f 1 (0)| M 1 =
1
2
+
1
2π
ln M.
(1)
Enfin, de 1 /
∈ f (U ), on déduit f 1 (U ) ∩ Z = ∅.
b) Comme f 1 et f 1 − 1 n’ont aucun zéro dans U , il résulte de 12.2.5 que ces fonctions
sont les carrés d’éléments, notés respectivement
√
f 1 et
√
f 1 − 1, de H(U ).
Si f 2 =
√
f 1 +
√
f 1 − 1, on a
√
f 1 −
√
f 1 − 1 =
1
f 2
. Donc, si M 2 = M 1 +
√
1 + M 1 ,
il vient :
1
M 2
|f 2 (0)| M 2
(2)
Soient ω ∈ C vérifiant ω 4 = 1 et λ n,ω,ε = ω(
√
n + 1 + ε
√
n), où ε = ±1 et n ∈ N.
S’il existe z ∈ U tel que f 2 (z) = λ n,ω,ε , un calcul facile montre que
f 1 (z) =
1
4
(λ n,ω,ε + λ
−1
n,ω,ε )
2 = ω
2 n +
ω 2 + 1
2
·
De ω 2 = ±1, on déduit f 1 (z) ∈ Z. C’est absurde d’après l’alinéa précédent. Ainsi,
λ n,ω,ε /
∈ f 2 (U ). On a de même λ −1
n,ω,ε /
∈ f 2 (U ).
c) Comme 0 /
∈ f 2 (U ), il résulte de 12.2.5 qu’il existe g ∈ H(U ) vérifiant e g = f 2 .
Quitte à ajouter à g un multiple entier de 2iπ, on peut supposer que | Im g(0)| π.
D’autre part, Re g(0) = ln |f 2 (0)|. D’après (2), il vient :
|g(0)| M 3 = π + ln M 2 .
(3)
D’autre part, si n ∈ N et p ∈ Z, on a
exp
± ln(
√
n + 1 +
√
n) + ip
π
2
∈ {λ n,ω,1 , λ
−1
n,ω,1 },
avec ω 4 = 1. D’après l’alinéa b), on obtient
ζ ε,n,p = ε ln(
√
n + 1 +
√
n) + ip
π
2
/
∈ g(U )
pour ε = ±1, n ∈ N et p ∈ Z.