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13.1 Théorèmes de Picard
165
Si |z| =
Ra
4M
R
4
< R, on obtient donc :
|f (z)|
Ra 2 (3M − a)
4M (4M − a)
2Ra 2 M
4M (4M − a)
=
Ra 2
2(4M − a)
Ra 2
8M
·
Soit ζ ∈ C tel que |ζ| <
Ra 2
8M
· Si |z| =
Ra
4M
, il vient alors :
|
f (z) − ζ
− f (z)| = |ζ| < |f (z)|.
D’après le théorème de Rouché (8.6.3), les fonctions z → f (z) et z → f (z) − ζ ont
même nombre de zéros (comptés avec leut multiplicité) dans le disque D
0,
Ra
4M
.
Comme f (0) = 0, il existe z 0 appartenant à ce disque tel que f (z 0 ) = ζ. On a prouvé
que :
D
0,
Ra 2
8M
⊂ f
D
0,
Ra
4M
.
D’où le résultat.
Lemme 13.1.2. Soit D(0, R) un disque de rayon non nul. Il existe µ ∈ R ∗
+ vérifiant
la condition suivante : pour toute fonction f holomorphe dans D(0, R) et tout nombre
réel ρ tel que 0 < ρ < sup{(R − |z|)|f (z)| ; |z| R}, il existe un disque ouvert de
rayon µρ contenu dans l’image de f .
Démonstration. Soit ζ ∈ D(0, R) tel que ρ < (R − |ζ|)|f (ζ)|. Pour ε > 0 assez
petit, on a donc ρ < (R − ε − |ζ|)|f (ζ)|. Il en résulte qu’il existe r ∈ ]0, R[ tel que
l’on ait encore ρ < sup{(r − |z|)|f (z)| ; |z| r}. La dernière borne supérieure est
atteinte en un point z 0 tel que r − |z 0 | = δ > 0. Par suite, si |z − z 0 | <
δ
2
, on a
z ∈ D(0, r) et
f (z)
f (z 0 )
δ
r − |z|
2.
D’après 13.1.1, il existe un disque ouvert de rayon
r|f (z 0 )| 2
16|f (z 0 )|
=
r|f (z 0 )|
16
contenu
dans l’image de f . Or :
r|f (z 0 )|
16
>
rρ
16(r − |z 0 |)
ρ
16
·
On a obtenu le résultat avec µ =
1
16
·
13.1.3. On renvoie à 12.1.4 pour la définition d’une partie bornée de H(U ).