Chapitre 13
Quelques grands classiques
13.1 THÉORÈMES DE PICARD
Lemme 13.1.1. Soit f une fonction holomorphe au voisinage de D (0, R), avec
R > 0, et vérifiant |f (0)| = a > 0. Notons M = sup{|f (z)| ; |z| R}. Alors :
D
f (0),
Ra 2
8M
⊂ f
D(0, 1)
.
Démonstration. Quitte à changer f en f − f (0), on peut supposer f (0) = 0. Le
développement de f en série entière dans D (0, R) est de la forme
f (z) =
∞
n=1
α n z
n ,
avec |α 1 | = a.
D’après les inégalités de Cauchy (7.1.1), on a |α n | n|α n | MR 1−n si n 1. En
particulier a M .
Pour |z| = r < R, il vient :
|f (z)| = |f (z) − α 1 z + α 1 z| ar − |f (z) − α 1 z| = ar −
∞
n=2
α n z
n
ar −
∞
n=2
M
r n
R n−1 = ar −
Mr 2
R − r
·
Quelques grands classiques
13.1 THÉORÈMES DE PICARD
Lemme 13.1.1. Soit f une fonction holomorphe au voisinage de D (0, R), avec
R > 0, et vérifiant |f (0)| = a > 0. Notons M = sup{|f (z)| ; |z| R}. Alors :
D
f (0),
Ra 2
8M
⊂ f
D(0, 1)
.
Démonstration. Quitte à changer f en f − f (0), on peut supposer f (0) = 0. Le
développement de f en série entière dans D (0, R) est de la forme
f (z) =
∞
n=1
α n z
n ,
avec |α 1 | = a.
D’après les inégalités de Cauchy (7.1.1), on a |α n | n|α n | MR 1−n si n 1. En
particulier a M .
Pour |z| = r < R, il vient :
|f (z)| = |f (z) − α 1 z + α 1 z| ar − |f (z) − α 1 z| = ar −
∞
n=2
α n z
n
ar −
∞
n=2
M
r n
R n−1 = ar −
Mr 2
R − r
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