© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
14.2 Représentation intégrale
181
Proposition 14.1.7. Soient U un ouvert de C et f ∈ Har(U ). Alors f possède la
propriété de moyenne dans U et vérifie le principe du maximum dans U .
Démonstration. D’après 7.2.4, il suffit de démontrer le premier point. Soient a ∈ U
et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Dans un voisinage de D (a, r), on a f = g + h, où
g, h ∈ H(U ) (14.1.5). On conclut d’après 7.2.2.
Corollaire 14.1.8. Soient U un ouvert connexe et f ∈ Har(U ) à valeurs réelles.
(i) Si a ∈ U et si f (z) f (a) dans un voisinage de a, alors f est constante.
(ii) Supposons U borné, f continue sur U , et non constante dans U . Pour tout z ∈ U ,
on a f (z) < sup{f (ζ) ; ζ ∈ U \U }.
Démonstration. Soit r > 0 vérifiant D (a, R) ⊂ U . Il existe M > 0 tel que
g(z) = f (z) + M > 0 pour tout z ∈ D (a, r). On a |g(z)| = g(z) g(a) = |g(a)|
dans un voisinage de a. Il suffit donc d’appliquer le principe du maximum à g pour
obtenir (i). L’assertion (ii) s’en déduit aussitôt.
14.2 REPRÉSENTATION INTÉGRALE
14.2.1. Soient a ∈ C et r > 0. Le noyau de Poisson relatif au disque D(a, r) est la
fonction définie, pour (z, w) ∈ D(a, r) × C(a, r), par :
P (z, w) =
r 2 − |z − a| 2
|w − z| 2 = Re
(w − a) + (z − a)
(w − a) − (z − a)
.
(2)
Ainsi, si |w| = r, l’application z → P (z, w) est la partie réelle d’une fonction
holomorphe dans D(a, r). Par suite, z → P (z, w) est harmonique dans D(a, r).
Si |u| < 1, on a :
1 + u
1 − u
= 1 + 2
∞
n=1
u
n .
Utilisant la seconde expression de (2), on voit donc que, si 0 ρ < r et θ, ϕ ∈ R,
on a
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) = 1 + 2
∞
n=1
ρ
r
n
cos[n(θ − ϕ)]
(3)
et, ce développement est normalement convergent pour θ, ϕ ∈ R. D’où :
2π
0
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) dθ =
2π
0
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) dϕ = 2π.
14.2.2. Soit p une fonction continue sur C(a, r). Le problème de Dirichlet dans
le disque D(a, r) consiste à prolonger p en une fonction continue sur D (a, r) et
harmonique dans D(a, r). Le résultat suivant montre que ce problème a une unique
solution.
14.2 Représentation intégrale
181
Proposition 14.1.7. Soient U un ouvert de C et f ∈ Har(U ). Alors f possède la
propriété de moyenne dans U et vérifie le principe du maximum dans U .
Démonstration. D’après 7.2.4, il suffit de démontrer le premier point. Soient a ∈ U
et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Dans un voisinage de D (a, r), on a f = g + h, où
g, h ∈ H(U ) (14.1.5). On conclut d’après 7.2.2.
Corollaire 14.1.8. Soient U un ouvert connexe et f ∈ Har(U ) à valeurs réelles.
(i) Si a ∈ U et si f (z) f (a) dans un voisinage de a, alors f est constante.
(ii) Supposons U borné, f continue sur U , et non constante dans U . Pour tout z ∈ U ,
on a f (z) < sup{f (ζ) ; ζ ∈ U \U }.
Démonstration. Soit r > 0 vérifiant D (a, R) ⊂ U . Il existe M > 0 tel que
g(z) = f (z) + M > 0 pour tout z ∈ D (a, r). On a |g(z)| = g(z) g(a) = |g(a)|
dans un voisinage de a. Il suffit donc d’appliquer le principe du maximum à g pour
obtenir (i). L’assertion (ii) s’en déduit aussitôt.
14.2 REPRÉSENTATION INTÉGRALE
14.2.1. Soient a ∈ C et r > 0. Le noyau de Poisson relatif au disque D(a, r) est la
fonction définie, pour (z, w) ∈ D(a, r) × C(a, r), par :
P (z, w) =
r 2 − |z − a| 2
|w − z| 2 = Re
(w − a) + (z − a)
(w − a) − (z − a)
.
(2)
Ainsi, si |w| = r, l’application z → P (z, w) est la partie réelle d’une fonction
holomorphe dans D(a, r). Par suite, z → P (z, w) est harmonique dans D(a, r).
Si |u| < 1, on a :
1 + u
1 − u
= 1 + 2
∞
n=1
u
n .
Utilisant la seconde expression de (2), on voit donc que, si 0 ρ < r et θ, ϕ ∈ R,
on a
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) = 1 + 2
∞
n=1
ρ
r
n
cos[n(θ − ϕ)]
(3)
et, ce développement est normalement convergent pour θ, ϕ ∈ R. D’où :
2π
0
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) dθ =
2π
0
P (a + ρe
iθ , a + re
iϕ ) dϕ = 2π.
14.2.2. Soit p une fonction continue sur C(a, r). Le problème de Dirichlet dans
le disque D(a, r) consiste à prolonger p en une fonction continue sur D (a, r) et
harmonique dans D(a, r). Le résultat suivant montre que ce problème a une unique
solution.