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Exercices
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EXERCICES
Exercice 12.1. Soit U un ouvert de C. Montrer que l’application de H(U ) dans luimême, f → exp(f ) est continue.
Exercice 12.2. a) Soient U un ouvert convexe de C et h ∈ H(U ). Prouver que, si
a, b ∈ U , on a :
|h(b) − h(a)| |b − a| sup{|h
(z)| ; z ∈ U }.
b) Soit g : D(0, 1) → D(0, 1) une fonction holomorphe. Montrer que, si z ∈ D(0, 1),
on a :
|g
(z)|
1
(1 − |z|) 2 ·
En déduire que, si r ∈ ]0, 1[ et |z| < 1 − r, alors :
|g
(z)|
1
r 2 ·
c) Pour n ∈ N, soit f n : D(0, 1) → D(0, 1) une fonction holomorphe. On suppose
que la suite (f n ) n converge simplement vers une fonction f continue sur D(0, 1).
Soient ε > 0 et a ∈ D(0, 1). Prouver qu’il existe η a > 0 et N a ∈ N tels que l’on ait
|f n z) − f (z)| ε pour tout n N a et tout z ∈ D(a, η a ) ∩ D(0, 1). En déduire que
f ∈ H
D(0, 1)
.
Exercice 12.3. Soient D = D(0, 1) et C un carré ouvert de centre 0. On désigne par
f une représentation conforme de D sur C vérifiant f (0) = 0, et on note
f (z) =
∞
n=1
a n z
n
le développement de f en série entière au voisinage de 0.
a) Pourquoi g(z) = f −1
if (z)
est-il bien défini si z ∈ D ? Prouver qu’il existe
η ∈ C vérifiant |η| = 1 et g(z) = ηz pour tout z ∈ D.
b) Montrer que f (iz) = if (z) pour tout z ∈ D. En déduire que a n = 0 si n /
∈ 4N+1.
Exercice 12.4. Soient U = {z ∈ C ; e Re z < Im z < 2π + e Re z } et V = C\S, où S
est l’ensemble {te it ; t ∈ R + }.
a) Montrer que la restriction de l’exponentielle à U est injective.
b) Prouver que V = {e z ; z ∈ U }.
c) Montrer qu’il existe f ∈ H(V )tel que f (t) = 2iπ + ln t pour tout t ∈ ]0, 2π[.