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12 • Représentation conformes
Définition. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f une fonction sur U . On suppose
qu’il existe ρ > 0 tel que D(a, ρ) ⊂ U et f (z) = f (a) pour tout z ∈ D ∗ (a, ρ). On
dit que f conserve les angles en a si
lim
r→0
e
−it θ
f (a + re
it ) − f (a)
existe et ne dépend pas de t.
Proposition 12.3.2. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f une fonction sur U .
(i) Si f est dérivable en a et vérifie f (a) = 0, alors f conserve les angles en a.
(ii) Supposons f différentiable en a, avec d f (a) = 0. Si f conserve les angles en a,
alors f est dérivable en a et f (a) = 0.
Démonstration. (i) Puisque f (a) = 0, il existe ρ > 0 tel que l’on ait D(a, ρ) ⊂ U
et f (z) = f (a) pour tout z ∈ D ∗ (a, ρ). Pour 0 < r < ρ et t ∈ R, il vient :
e
−it θ
f (a + re
it ) − f (a)
=
f (a + re it ) − f (a)
re it
re it
f (a + re it ) − f (a)
.
Par suite :
lim
r→0
e
−it θ
f (a + re
it ) − f (a)
=
f (a)
|f (a)|
·
(ii) Supposons les hypothèses de (ii) vérifiées. Soient h, k ∈ R et ζ = h + ik. Il existe
(α, β) ∈ C 2 \{(0, 0)} tel que
f (a + ζ) − f (a) = αh + βk + ε(ζ)|ζ|,
où ε(ζ) tend vers 0 si ζ tend vers 0. Ceci s’écrit encore :
f (a + ζ) − f (a) =
1
2
(α − iβ)ζ +
1
2
(α + iβ)ζ + ε(ζ)|ζ|.
Ecrivant ζ = re it , avec r > 0 et t ∈ R ∗ , il vient donc, pour t fixé :
lim
r→0
θ
f (a + re
it ) − f (a)
=
(α − iβ) + (α + iβ)e −2it
|(α − iβ) + (α + iβ)e −2it |
·
Cette limite étant indépendante de t, on voit facilement que α + iβ = 0. Compte tenu
de 5.2.2, on en déduit que f est dérivable en a et que f (a) = α = −iβ. On a alors
bien f (a) = 0 (sinon, α = β = 0).
12.3.3. Soient U, V des ouverts de C et f un isomorphisme analytique de U sur V .
D’après 8.7.2, on a f (z) = 0 pour tout z ∈ U . Compte tenu de ceci et de 12.3.2, on
dit aussi que f est une transformation conforme de U sur V . Si a ∈ U , on a
f (z) − f (a) = f
(a)(z − a) + ε(z − a)|z − a|,
où ε(z−a) tend vers 0 si z tend vers a. On voit donc que l’application linéaire tangente
à f en a est une similitude.