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12.3 Conservation des angles
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(vi) U est égal à C ou isomorphe à D(0, 1).
(vii) U est homéomorphe à un ouvert convexe de C.
Démonstration. Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ont été vues en 10.4.2 et
10.4.3. Les implications (iv) ⇒ (v) et (vi) ⇒ (vii) sont triviales, et (v) ⇒ (vi) résulte de
12.2.4. Soient V un ouvert convexe de C (donc simplement connexe d’après 10.1.10),
ϕ un homéomorphisme de U sur V , et ψ l’application réciproque de ϕ.
Soient a, b ∈ U et γ 1 , γ 2 des arcs dans U allant de a à b. Alors ϕ◦γ 1 , ϕ◦γ 2 sont des
arcs dans V allant de ϕ(a) à ϕ(b). Soit δ : [0, 1] × [0, 1] → V une homotopie dans V
de ϕ◦γ 1 à ϕ◦γ 1 . Il est immédiat que l’application ψ◦δ est une homotopie dans U de
γ 1 à γ 2 . Par suite, U est simplement connexe.
12.2.6. Soient U, V des ouverts simplement connexes de C, distincts de C. D’après
12.2.5, il existe un isomorphisme analytique de U sur V . Donnons quelques exemples
autres que ceux de 6.6.2 et 6.6.3. Les calculs sont laissés au lecteur.
1) Soient P = {z ∈ C ; Im(z) > 0} et a ∈ U . Alors
z →
z − a
z − a
est un isomorphisme de P sur D(0, 1).
2) La fonction z → Log z est un isomorphisme de C\R − sur {z ∈ C ; | Im(z)| < π}.
3) L’application
z →
1
2
1
z
− z
est un isomorphisme de {z ∈ C ; |z| < 1, Re(z) > 0} sur P .
4) Soient α ∈ [1, +∞[ et U =
re it ; r ∈ R ∗
+ , −
π
2α
< t <
π
2α
. L’application
z → z α = exp(α Log z) est un isomorphisme de U sur P .
Remarque. L’ouvrage [7] donne explicitement de très nombreux isomorphismes analytiques entre ouverts de C.
12.3 CONSERVATION DES ANGLES
12.3.1. Dans ce paragraphe 12.3, une fonction définie sur un ouvert U de C sera aussi
considérée comme une fonction définie sur un ouvert de R 2 (voir 5.2.1).
Pour z ∈ C ∗ , on pose :
θ(z) =
z
|z|
·
La demi-droite (réelle) contenant 0 et z est entièrement déterminée par θ(z).