158
12 • Représentation conformes
2) Soient f ∈ P non surjective et z 0 un point de U . On va prouver qu’il existe f 1 ∈ P
vérifiant |f
1 (z 0 )| > |f (z 0 )|.
Soit a ∈ D\f (U ). On a ϕ a ◦f ∈ P, et ϕ a ◦f est sans zéro dans U . Il existe donc
g ∈ H(U ) vérifiant ϕ a ◦f (z) = g(z) 2 pour tout z ∈ U . Si l’on note σ l’application
z → z 2 , il vient donc :
σ◦g = ϕ a ◦f.
On a g(U ) ⊂ D et, comme ϕ a ◦f est injective, on voit que g l’est.
Posons b = g(z 0 ) et f 1 = ϕ b ◦g. On a f 1 ∈ P et f 1 (z 0 ) = 0. Si l’on note
ψ = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b , on obtient :
f = ϕ −a ◦σ◦g = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b ◦f 1 = ψ◦f 1 .
Par conséquent, f (z 0 ) = ψ (0)f
1 (z 0 ).
L’application σ n’étant par injective, ψ = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b ne l’est pas non plus. D’après
12.2.2, on a |ψ (0)| < 1. D’où |f (z 0 )| < |f
1 (z 0 )|, car f (z 0 ) = 0 (8.7.2).
3) Soit z 0 un point de U . On va montrer qu’il existe un élément g de P tel que
|g (z 0 )| = sup{|f (z 0 )| ; f ∈ P}, et que g est un isomorphisme de U sur D.
Soit M = sup{|f (z 0 )| ; f ∈ P} ∈ R + ∪ {+∞}. Comme P est une partie bornée
de H(U ), on a M ∈ R + (12.1.5). D’autre part, M > 0 (8.7.2).
Il existe une suite (f n ) n d’éléments de P telle que |f
n (z 0 )| tende vers M quand
n tend vers +∞. La suite (f n ) n étant bornée, il résulte de 12.1.6 que l’on peut
supposer qu’elle converge uniformément sur tout compact vers f ∈ H(U ). On a donc
M = |f (z 0 )| > 0, et f n’est pas constante. D’après 8.5.3, f est injective.
Comme |f n (z)| < 1 pour tout n ∈ N et tout z ∈ U , on a f (U ) ⊂ D (0, 1). D’autre
part, f étant non constante est ouverte (8.7.2). D’où f (U ) ⊂ D. On a donc prouvé que
f ∈ P. Enfin, comme M = |f (z 0 )|, il résulte de l’alinéa 2 que f est une surjection
de U sur D. Par suite, f est un isomorphisme analytique de U sur D.
Théorème 12.2.4. (Théorème de Riemann). Tout ouvert simplement connexe de C,
distinct de C, est isomorphe au disque unité ouvert D(0, 1).
Démonstration. C’est clair d’après 10.4.3 et 12.2.3.
Théorème 12.2.5. Soit U un ouvert connexe de C. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) U est simplement connexe.
(ii) Toute fonction f ∈ H(U ) possède une primitive dans U .
(iii) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
e g = f .
(iv) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U et tout q ∈ N ∗ , il existe
g ∈ H(U ) vérifiant g q = f .
(v) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
g 2 = f .
12 • Représentation conformes
2) Soient f ∈ P non surjective et z 0 un point de U . On va prouver qu’il existe f 1 ∈ P
vérifiant |f
1 (z 0 )| > |f (z 0 )|.
Soit a ∈ D\f (U ). On a ϕ a ◦f ∈ P, et ϕ a ◦f est sans zéro dans U . Il existe donc
g ∈ H(U ) vérifiant ϕ a ◦f (z) = g(z) 2 pour tout z ∈ U . Si l’on note σ l’application
z → z 2 , il vient donc :
σ◦g = ϕ a ◦f.
On a g(U ) ⊂ D et, comme ϕ a ◦f est injective, on voit que g l’est.
Posons b = g(z 0 ) et f 1 = ϕ b ◦g. On a f 1 ∈ P et f 1 (z 0 ) = 0. Si l’on note
ψ = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b , on obtient :
f = ϕ −a ◦σ◦g = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b ◦f 1 = ψ◦f 1 .
Par conséquent, f (z 0 ) = ψ (0)f
1 (z 0 ).
L’application σ n’étant par injective, ψ = ϕ −a ◦σ◦ϕ −b ne l’est pas non plus. D’après
12.2.2, on a |ψ (0)| < 1. D’où |f (z 0 )| < |f
1 (z 0 )|, car f (z 0 ) = 0 (8.7.2).
3) Soit z 0 un point de U . On va montrer qu’il existe un élément g de P tel que
|g (z 0 )| = sup{|f (z 0 )| ; f ∈ P}, et que g est un isomorphisme de U sur D.
Soit M = sup{|f (z 0 )| ; f ∈ P} ∈ R + ∪ {+∞}. Comme P est une partie bornée
de H(U ), on a M ∈ R + (12.1.5). D’autre part, M > 0 (8.7.2).
Il existe une suite (f n ) n d’éléments de P telle que |f
n (z 0 )| tende vers M quand
n tend vers +∞. La suite (f n ) n étant bornée, il résulte de 12.1.6 que l’on peut
supposer qu’elle converge uniformément sur tout compact vers f ∈ H(U ). On a donc
M = |f (z 0 )| > 0, et f n’est pas constante. D’après 8.5.3, f est injective.
Comme |f n (z)| < 1 pour tout n ∈ N et tout z ∈ U , on a f (U ) ⊂ D (0, 1). D’autre
part, f étant non constante est ouverte (8.7.2). D’où f (U ) ⊂ D. On a donc prouvé que
f ∈ P. Enfin, comme M = |f (z 0 )|, il résulte de l’alinéa 2 que f est une surjection
de U sur D. Par suite, f est un isomorphisme analytique de U sur D.
Théorème 12.2.4. (Théorème de Riemann). Tout ouvert simplement connexe de C,
distinct de C, est isomorphe au disque unité ouvert D(0, 1).
Démonstration. C’est clair d’après 10.4.3 et 12.2.3.
Théorème 12.2.5. Soit U un ouvert connexe de C. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) U est simplement connexe.
(ii) Toute fonction f ∈ H(U ) possède une primitive dans U .
(iii) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
e g = f .
(iv) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U et tout q ∈ N ∗ , il existe
g ∈ H(U ) vérifiant g q = f .
(v) Pour toute fonction f ∈ H(U ) sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
g 2 = f .