© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
12.2 Un résultat d’isomorphisme
157
On voit donc que la suite (f nk ) k vérifie le critère de Cauchy uniforme sur B ∩ D.
Comme D peut être recouvert par un nombre fini de boules telles B (à centre dans
D), on voit que la suite (f nk ) k vérifie le critère de Cauchy uniforme sur D. Enfin,
toute partie compacte de U pouvant être recouverte par un nombre fini de disques
fermés, on a prouvé que de la suite (f n ) n , on a pu extraire une sous-suite convergeant
uniformément sur tout compact de U . Par conséquent, P est une partie relativement
compacte de H(U ).
12.2 UN RÉSULTAT D’ISOMORPHISME
12.2.1. Dans ce qui suit, on note D pour D(0, 1). Si a ∈ D, on définit ϕ a ∈ Aut(D)
(voir 7.3.3) par :
ϕ a (z) =
z − a
1 − az
·
On renvoie le lecteur à 7.3.2 pour la définition d’ouverts isomorphes.
Lemme 12.2.2. Soit f une fonction holomorphe dans D, non injective et vérifiant
f (D) ⊂ D. Alors |f (0)| < 1.
Démonstration. Soient a = f (0) et g = ϕ◦f . On a g(D) ⊂ D, g(0) = 0, et
g n’est pas injective. D’après le lemme de Schwarz (7.3.1), on a |g (0)| < 1, soit
|ϕ
a (a)f (0)| < 1. Ceci s’écrit :
1
1 − |a| 2 |f
(0)| < 1.
Ainsi, |f (0)| < 1 − |a| 2 < 1.
Théorème 12.2.3. Soit U un ouvert connexe de C distinct de C. On suppose que,
pour toute fonction f ∈ H(U ) ne s’annulant pas dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
f = g 2 . Alors U est isomorphe à D.
Démonstration. On désigne par P la partie de H(U ) constituée des applications f
qui sont injectives et qui vérifient f (U ) ⊂ D.
1) Prouvons que P est non vide.
Soit a ∈ C\U . La fonction z → z − a ne s’annulant pas dans U , il existe g ∈ H(U )
vérifiant g(z) 2 = z − a pour tout z ∈ U . Si g(z) = g(ζ), on a g(z) 2 = g(ζ) 2 , donc
z = ζ, et g est injective. On voit de même que, si g(z) = −g(ζ), alors z = ζ. Par
suite, si w ∈ g(U ), on a −w /
∈ g(U ). L’application g étant ouverte (8.7.2), son image
contient un disque D (b, r) avec r > 0. On a donc g(U ) ∩ D (−b, r) = ∅. Ainsi,
l’application définie sur U par
f (z) =
r
g(z) + r
est un élément de P.
12.2 Un résultat d’isomorphisme
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On voit donc que la suite (f nk ) k vérifie le critère de Cauchy uniforme sur B ∩ D.
Comme D peut être recouvert par un nombre fini de boules telles B (à centre dans
D), on voit que la suite (f nk ) k vérifie le critère de Cauchy uniforme sur D. Enfin,
toute partie compacte de U pouvant être recouverte par un nombre fini de disques
fermés, on a prouvé que de la suite (f n ) n , on a pu extraire une sous-suite convergeant
uniformément sur tout compact de U . Par conséquent, P est une partie relativement
compacte de H(U ).
12.2 UN RÉSULTAT D’ISOMORPHISME
12.2.1. Dans ce qui suit, on note D pour D(0, 1). Si a ∈ D, on définit ϕ a ∈ Aut(D)
(voir 7.3.3) par :
ϕ a (z) =
z − a
1 − az
·
On renvoie le lecteur à 7.3.2 pour la définition d’ouverts isomorphes.
Lemme 12.2.2. Soit f une fonction holomorphe dans D, non injective et vérifiant
f (D) ⊂ D. Alors |f (0)| < 1.
Démonstration. Soient a = f (0) et g = ϕ◦f . On a g(D) ⊂ D, g(0) = 0, et
g n’est pas injective. D’après le lemme de Schwarz (7.3.1), on a |g (0)| < 1, soit
|ϕ
a (a)f (0)| < 1. Ceci s’écrit :
1
1 − |a| 2 |f
(0)| < 1.
Ainsi, |f (0)| < 1 − |a| 2 < 1.
Théorème 12.2.3. Soit U un ouvert connexe de C distinct de C. On suppose que,
pour toute fonction f ∈ H(U ) ne s’annulant pas dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant
f = g 2 . Alors U est isomorphe à D.
Démonstration. On désigne par P la partie de H(U ) constituée des applications f
qui sont injectives et qui vérifient f (U ) ⊂ D.
1) Prouvons que P est non vide.
Soit a ∈ C\U . La fonction z → z − a ne s’annulant pas dans U , il existe g ∈ H(U )
vérifiant g(z) 2 = z − a pour tout z ∈ U . Si g(z) = g(ζ), on a g(z) 2 = g(ζ) 2 , donc
z = ζ, et g est injective. On voit de même que, si g(z) = −g(ζ), alors z = ζ. Par
suite, si w ∈ g(U ), on a −w /
∈ g(U ). L’application g étant ouverte (8.7.2), son image
contient un disque D (b, r) avec r > 0. On a donc g(U ) ∩ D (−b, r) = ∅. Ainsi,
l’application définie sur U par
f (z) =
r
g(z) + r
est un élément de P.