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12 • Représentation conformes
(ii) Si P est une partie bornée de H(U ), il en est de même de {f (j) ; f ∈ P} pour
tout j ∈ N.
Démonstration. Il est immédiat que X est un compact de U . Si a ∈ K, il résulte de
6.5.2 que :
1
k!
|f
k (a)|
1
ρ k f D (a,ρ) .
D’où (i). L’assertion (ii) s’en déduit aussitôt.
Théorème 12.1.6. (Théorème de Montel). Soient U un ouvert de C et P une partie
de H(U ). Dire que P est relativement compacte signifie qu’elle est bornée.
Démonstration. 1) Supposons P non bornée. Il existe un compact K de U possédant
la propriété suivante : pour tout n ∈ N, il existe f n ∈ P tel que f n K n. On ne
peut donc extraire de (f n ) n aucune suite uniformément convergente sur K. Ainsi, P
n’est pas relativement compacte.
2) Supposons P bornée. Soient D, ∆ des disques fermés contenus dans U , de même
centre, de rayons respectifs r et r + δ, avec δ > 0.
• D’après 12.1.5, (ii), on a δf D f ∆ pour tout f ∈ H(U ). Par conséquent, il
existe M (D) ∈ R ∗
+ tel que f D M (D) pour tout f ∈ P.
Soit f ∈ C (U ). Si t ∈ [0, 1] et z, z ∈ D, posons ϕ(t) = f
tz + (1 − t)z
. Comme
ϕ (t) = (z − z )f
tz + (1 − t)z
, il résulte de 2.4.1 et de ce qui précède que
|f (z) − f (z
)| 2M (D)|z − z
|
(1)
pour tout f ∈ P et tous z, z ∈ D. On a donc montré que {f |D ; f ∈ P} est une
partie équicontinue de C (D).
• Soit S = U ∩ {r + is ; r, s ∈ Q}. Alors S est une partie dénombrable dense de U .
Soit (f n ) n une suite d’éléments de P. Pour tout ζ ∈ S, la suite
f n (ζ)
n
est bornée.
On sait alors (utiliser le procédé diagonal) qu’il existe une sous-suite (f nk ) k de cette
suite telle que
f nk (ζ)
k
soit une suite convergente pour tout ζ ∈ S.
• Soient ε > 0 et B un disque fermé de rayon
ε
12M (D)
· D’après (1), on a
|f (z) − f (z
)|
ε
3
si z, z ∈ B ∩ D et f ∈ P. D’autre part, si le centre de B appartient à D, B ∩ D est
d’intérieur non vide, donc contient un point ζ de S. Pour ce point, il existe un entier
N B tel que :
k, k
N B ⇒ |f nk (ζ) − f n k (ζ)|
ε
3
·
Alors, si z ∈ B ∩ D et k, k N B :
|f nk (z)−f n k (z)| |f nk (z)−f nk (ζ)|+|f nk (ζ)−f n k (ζ)|+|f n k (ζ)−f n k (z)| ε.
12 • Représentation conformes
(ii) Si P est une partie bornée de H(U ), il en est de même de {f (j) ; f ∈ P} pour
tout j ∈ N.
Démonstration. Il est immédiat que X est un compact de U . Si a ∈ K, il résulte de
6.5.2 que :
1
k!
|f
k (a)|
1
ρ k f D (a,ρ) .
D’où (i). L’assertion (ii) s’en déduit aussitôt.
Théorème 12.1.6. (Théorème de Montel). Soient U un ouvert de C et P une partie
de H(U ). Dire que P est relativement compacte signifie qu’elle est bornée.
Démonstration. 1) Supposons P non bornée. Il existe un compact K de U possédant
la propriété suivante : pour tout n ∈ N, il existe f n ∈ P tel que f n K n. On ne
peut donc extraire de (f n ) n aucune suite uniformément convergente sur K. Ainsi, P
n’est pas relativement compacte.
2) Supposons P bornée. Soient D, ∆ des disques fermés contenus dans U , de même
centre, de rayons respectifs r et r + δ, avec δ > 0.
• D’après 12.1.5, (ii), on a δf D f ∆ pour tout f ∈ H(U ). Par conséquent, il
existe M (D) ∈ R ∗
+ tel que f D M (D) pour tout f ∈ P.
Soit f ∈ C (U ). Si t ∈ [0, 1] et z, z ∈ D, posons ϕ(t) = f
tz + (1 − t)z
. Comme
ϕ (t) = (z − z )f
tz + (1 − t)z
, il résulte de 2.4.1 et de ce qui précède que
|f (z) − f (z
)| 2M (D)|z − z
|
(1)
pour tout f ∈ P et tous z, z ∈ D. On a donc montré que {f |D ; f ∈ P} est une
partie équicontinue de C (D).
• Soit S = U ∩ {r + is ; r, s ∈ Q}. Alors S est une partie dénombrable dense de U .
Soit (f n ) n une suite d’éléments de P. Pour tout ζ ∈ S, la suite
f n (ζ)
n
est bornée.
On sait alors (utiliser le procédé diagonal) qu’il existe une sous-suite (f nk ) k de cette
suite telle que
f nk (ζ)
k
soit une suite convergente pour tout ζ ∈ S.
• Soient ε > 0 et B un disque fermé de rayon
ε
12M (D)
· D’après (1), on a
|f (z) − f (z
)|
ε
3
si z, z ∈ B ∩ D et f ∈ P. D’autre part, si le centre de B appartient à D, B ∩ D est
d’intérieur non vide, donc contient un point ζ de S. Pour ce point, il existe un entier
N B tel que :
k, k
N B ⇒ |f nk (ζ) − f n k (ζ)|
ε
3
·
Alors, si z ∈ B ∩ D et k, k N B :
|f nk (z)−f n k (z)| |f nk (z)−f nk (ζ)|+|f nk (ζ)−f n k (ζ)|+|f n k (ζ)−f n k (z)| ε.