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12.1 Topologie
155
Proposition. Les ensembles V (K, ε), ε > 0 et K compact de U , forment un système
fondamental de voisinages de 0 dans C (U ).
Démonstration. Soit V un voisinage de 0 dans C (U ). Il contient un ensemble
{f ∈ C (U ) ; d(0, f) η}, avec 0 < η < 1. Soit K un compact de U . Il existe un
entier p 1 tel que K ⊂ K p et 2 −p η/2. Si f ∈ V (K, η/2), on a
d(0, f)
p
n=0
1
2 n
η
2
+
∞
n=p+1
1
2 n
η
2
+
1
2 p η.
D’où V (K, η/2) ⊂ V .
Soient K un compact de U et ε > 0. Montrons que V (K, ε) est un voisinage de 0
dans C (U ). Soit n ∈ N ∗ tel que K ⊂ K n . Si f ∈ C (U ) vérifie d(0, f) 2 −n ε, on a
nécessairement f K f Kn ε. D’où l’assertion.
12.1.3. D’après 10.1.2, la topologie définie en 12.1.1 sur C (U ) ne dépend pas de la
suite (K n ) n . D’autre part, on a aussi obtenu qu’une suite (f n ) n d’éléments de C (U )
converge vers f ∈ C (U ) si et seulement si elle converge vers f uniformément sur
tout compact de U . Pour cette raison, on dit que la topologie de 12.1.1 sur C (U ) est
la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de C (U ).
On sait que si une suite de fonctions continues converge uniformément sur tout compact, sa limite est continue. On peut aussi interpréter 7.4.2 dans le cadre de la topologie
de C (U ). On a donc obtenu :
Théorème.
(i) L’espace C (U ) est complet.
(ii) Le sous-espace H(U ) de C (U ) est fermé dans C (U ) et, pour j ∈ N, l’application
H(U ) → H(U ), f → f (j) est continue.
12.1.4. Précisons quelques points de vocabulaire. Soit P une partie de C (U ).
• On dit que P est bornée si, pour tout compact K de U , sup{{f K ; f ∈ P} est
fini.
• On dit que que P est équicontinue en un point z 0 ∈ U si, pour tout ε > 0, il existe
η > 0 tel que l’on ait, pour tout f ∈ P, |f (z) − f (z 0 )| ε dès que z ∈ U vérifie
|z − z 0 | η. La partie P est dite équicontinue si elle est équicontinue en tout point
de U .
Proposition 12.1.5.
(i) Soient K un compact de U , ρ > 0 tel que D (a, ρ) ⊂ U pour tout a ∈ K, et X
la réunion des D (a, ρ) pour a ∈ K. On a
1
k!
f
(k)
K
1
ρ k f X
pour tout k ∈ N et tout f ∈ H(U ).
12.1 Topologie
155
Proposition. Les ensembles V (K, ε), ε > 0 et K compact de U , forment un système
fondamental de voisinages de 0 dans C (U ).
Démonstration. Soit V un voisinage de 0 dans C (U ). Il contient un ensemble
{f ∈ C (U ) ; d(0, f) η}, avec 0 < η < 1. Soit K un compact de U . Il existe un
entier p 1 tel que K ⊂ K p et 2 −p η/2. Si f ∈ V (K, η/2), on a
d(0, f)
p
n=0
1
2 n
η
2
+
∞
n=p+1
1
2 n
η
2
+
1
2 p η.
D’où V (K, η/2) ⊂ V .
Soient K un compact de U et ε > 0. Montrons que V (K, ε) est un voisinage de 0
dans C (U ). Soit n ∈ N ∗ tel que K ⊂ K n . Si f ∈ C (U ) vérifie d(0, f) 2 −n ε, on a
nécessairement f K f Kn ε. D’où l’assertion.
12.1.3. D’après 10.1.2, la topologie définie en 12.1.1 sur C (U ) ne dépend pas de la
suite (K n ) n . D’autre part, on a aussi obtenu qu’une suite (f n ) n d’éléments de C (U )
converge vers f ∈ C (U ) si et seulement si elle converge vers f uniformément sur
tout compact de U . Pour cette raison, on dit que la topologie de 12.1.1 sur C (U ) est
la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de C (U ).
On sait que si une suite de fonctions continues converge uniformément sur tout compact, sa limite est continue. On peut aussi interpréter 7.4.2 dans le cadre de la topologie
de C (U ). On a donc obtenu :
Théorème.
(i) L’espace C (U ) est complet.
(ii) Le sous-espace H(U ) de C (U ) est fermé dans C (U ) et, pour j ∈ N, l’application
H(U ) → H(U ), f → f (j) est continue.
12.1.4. Précisons quelques points de vocabulaire. Soit P une partie de C (U ).
• On dit que P est bornée si, pour tout compact K de U , sup{{f K ; f ∈ P} est
fini.
• On dit que que P est équicontinue en un point z 0 ∈ U si, pour tout ε > 0, il existe
η > 0 tel que l’on ait, pour tout f ∈ P, |f (z) − f (z 0 )| ε dès que z ∈ U vérifie
|z − z 0 | η. La partie P est dite équicontinue si elle est équicontinue en tout point
de U .
Proposition 12.1.5.
(i) Soient K un compact de U , ρ > 0 tel que D (a, ρ) ⊂ U pour tout a ∈ K, et X
la réunion des D (a, ρ) pour a ∈ K. On a
1
k!
f
(k)
K
1
ρ k f X
pour tout k ∈ N et tout f ∈ H(U ).