Chapitre 12
Représentation conforme
12.1 TOPOLOGIE
12.1.1. Dans tout le paragraphe 12.1, U est un ouvert de C. On note C (U ) le Cespace vectoriel des applications continues de U dans C. Si K est un compact de U et
si f ∈ C (U ), on pose f K = sup{|f (z)| ; z ∈ K}.
On fixe une suite (K n ) n1 de compacts non vides de U (voir 8.1.1 et 11.2.2) vérifiant
les conditions suivantes :
(i) U est réunion des K n et K n ⊂
◦
K n+1 pour tout n 1.
(ii) Pour tout compact K de U , il existe un entier n 1 tel que K ⊂ K n .
Si f, g ∈ C (U ), on pose :
d(f, g) =
∞
n=1
1
2 n min{1, f − g Kn }.
On vérifie facilement que (f, g) → d(f, g) est une distance sur C (U ). Dans la suite,
C (U ) est muni de cette distance et de la topologie qui lui est associée. On munit aussi
l’espace H(U ) de cette topologie.
12.1.2. Si K est un compact de U et si ε > 0, on pose :
V (K, ε) = {f ∈ C (U ) ; f K ε}.
Représentation conforme
12.1 TOPOLOGIE
12.1.1. Dans tout le paragraphe 12.1, U est un ouvert de C. On note C (U ) le Cespace vectoriel des applications continues de U dans C. Si K est un compact de U et
si f ∈ C (U ), on pose f K = sup{|f (z)| ; z ∈ K}.
On fixe une suite (K n ) n1 de compacts non vides de U (voir 8.1.1 et 11.2.2) vérifiant
les conditions suivantes :
(i) U est réunion des K n et K n ⊂
◦
K n+1 pour tout n 1.
(ii) Pour tout compact K de U , il existe un entier n 1 tel que K ⊂ K n .
Si f, g ∈ C (U ), on pose :
d(f, g) =
∞
n=1
1
2 n min{1, f − g Kn }.
On vérifie facilement que (f, g) → d(f, g) est une distance sur C (U ). Dans la suite,
C (U ) est muni de cette distance et de la topologie qui lui est associée. On munit aussi
l’espace H(U ) de cette topologie.
12.1.2. Si K est un compact de U et si ε > 0, on pose :
V (K, ε) = {f ∈ C (U ) ; f K ε}.