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Solutions des exercices
153
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 11.1. a) Si f n’a aucun zéro dans U , on a 1/f ∈ H(U ). En écrivant que
g = (1/f )(f g), on obtient le résultat. Supposons que a soit zéro d’ordre n 1 de f .
Il existe h ∈ a vérifiant h(a) = 0. Si z ∈ U , posons :
(z) =
f (z)
z − a
g(z) =
1
h(a)
h(z) − h(a)
z − a
f (z)f (z) −
f (z)g(z)
z − a
h(z)
.
On a ∈ a. Appliquant ceci n fois, on voit que l’application v définie par
v(z) =
f (z)
(z − z) n g(z)
appartient à a. Comme z →
f (z)
(z − a) n est inversible dans H(U ), on obtient g ∈ a.
b) Soit f ∈ a\{0}. D’après 11.2.1, on peut écrire f =
∞
n=0 f n , où f n ∈ H(U ) a un
unique zéro a n ∈ U . Posons
g p =
np
f n ∈ H(U ).
La suite (g p ) p converge uniformément sur tout compact vers 1, et g p = f p g p+1 .
Comme g 0 = f ∈ a et que f p n’a aucun zéro dans U \{a p }, il résulte de a) que g p ∈ a
pour tout p ∈ N. L’idéal a étant fermé dans H(U ), on obtient 1 ∈ a. D’où a = H(U ).
Exercice 11.2. a) Soit a ∈ U . Il existe r > 0 tel que l’on ait D (a, r) ⊂ U et
D (a, r) ∩ A = ∅, ou D (a, r) ∩ A = {a}. D’après le principe du maximum, on a
sup{|u n (z) − u p (z)| ; z ∈ D
(a, r)} = sup{|u n (z) − u p (z)| ; |z − a| = r}.
Ainsi, (u n ) n vérifie le critère de Cauchy uniforme sur D (a, r), donc converge uniformément sur D (a, r). On obtient le résultat en recouvrant un compact de U par un
nombre fini de disques du type précédent.
b) On sait déjà que (i) et (ii) sont équivalentes (11.3.5).
(ii) ⇒ (iii) Supposons a = H(U )f , et soit g ∈ a. Il existe h n ∈ H(U ) tel que, si
g n = h n f , la suite (g n ) n converge uniformément sur tout compact de U vers g. Si
Z est l’ensemble des zéros de f , alors h n = g n /f converge uniformément sur tout
compact de U \Z. D’après a), (h n ) n converge uniformément vers h ∈ H(U ) sur tout
compact de U . Ainsi, g = hf ∈ a.
(iii) ⇒ (ii) Soit Z ⊂ U l’ensemble des zéros communs à tous les éléments de a. Si
a ∈ Z, posons m(a) = min{ω(f ) ; f ∈ a\{0}}, où ω(f ) est l’ordre de a en tant que
zéro de f .
D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) dont les seuls zéros sont les éléments de A et
vérifiant ω(g) = m(a) pour tout a ∈ A. Si b = g −1 a, il résulte de l’exercice 11.1. b)
que b = H(U ). D’où a = H(U )g.
Solutions des exercices
153
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 11.1. a) Si f n’a aucun zéro dans U , on a 1/f ∈ H(U ). En écrivant que
g = (1/f )(f g), on obtient le résultat. Supposons que a soit zéro d’ordre n 1 de f .
Il existe h ∈ a vérifiant h(a) = 0. Si z ∈ U , posons :
(z) =
f (z)
z − a
g(z) =
1
h(a)
h(z) − h(a)
z − a
f (z)f (z) −
f (z)g(z)
z − a
h(z)
.
On a ∈ a. Appliquant ceci n fois, on voit que l’application v définie par
v(z) =
f (z)
(z − z) n g(z)
appartient à a. Comme z →
f (z)
(z − a) n est inversible dans H(U ), on obtient g ∈ a.
b) Soit f ∈ a\{0}. D’après 11.2.1, on peut écrire f =
∞
n=0 f n , où f n ∈ H(U ) a un
unique zéro a n ∈ U . Posons
g p =
np
f n ∈ H(U ).
La suite (g p ) p converge uniformément sur tout compact vers 1, et g p = f p g p+1 .
Comme g 0 = f ∈ a et que f p n’a aucun zéro dans U \{a p }, il résulte de a) que g p ∈ a
pour tout p ∈ N. L’idéal a étant fermé dans H(U ), on obtient 1 ∈ a. D’où a = H(U ).
Exercice 11.2. a) Soit a ∈ U . Il existe r > 0 tel que l’on ait D (a, r) ⊂ U et
D (a, r) ∩ A = ∅, ou D (a, r) ∩ A = {a}. D’après le principe du maximum, on a
sup{|u n (z) − u p (z)| ; z ∈ D
(a, r)} = sup{|u n (z) − u p (z)| ; |z − a| = r}.
Ainsi, (u n ) n vérifie le critère de Cauchy uniforme sur D (a, r), donc converge uniformément sur D (a, r). On obtient le résultat en recouvrant un compact de U par un
nombre fini de disques du type précédent.
b) On sait déjà que (i) et (ii) sont équivalentes (11.3.5).
(ii) ⇒ (iii) Supposons a = H(U )f , et soit g ∈ a. Il existe h n ∈ H(U ) tel que, si
g n = h n f , la suite (g n ) n converge uniformément sur tout compact de U vers g. Si
Z est l’ensemble des zéros de f , alors h n = g n /f converge uniformément sur tout
compact de U \Z. D’après a), (h n ) n converge uniformément vers h ∈ H(U ) sur tout
compact de U . Ainsi, g = hf ∈ a.
(iii) ⇒ (ii) Soit Z ⊂ U l’ensemble des zéros communs à tous les éléments de a. Si
a ∈ Z, posons m(a) = min{ω(f ) ; f ∈ a\{0}}, où ω(f ) est l’ordre de a en tant que
zéro de f .
D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) dont les seuls zéros sont les éléments de A et
vérifiant ω(g) = m(a) pour tout a ∈ A. Si b = g −1 a, il résulte de l’exercice 11.1. b)
que b = H(U ). D’où a = H(U )g.