152
11 • Holomorphie et parties localement finies
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est claire. Supposons (ii) vérifié, et prouvons
(i). Ecrivons a = H(U )f 1 + · · · + H(U )f n . Par récurrence sur n, il suffit d’établir le
résultat si n = 2.
Soient E = Z(f 1 )∩Z(f 2 ). Si E = ∅, l’assertion résulte de 11.3.4. Supposons E = ∅.
Pour a ∈ E, notons θ(a) = min{ω a (f 1 ), ω a (f 2 )}. D’après 11.2.4, il existe f ∈ H(U )
vérifiant Z(f ) = E et ω a (f ) = θ(a) pour tout a ∈ E. Les fonctions f 1 /f et f 2 /f
se prolongent en des éléments g 1 , g 2 ∈ H(U ). Comme f 1 = g 1 f et f 2 = g 2 f , il
vient a ⊂ H(U )f . D’autre part, par construction, g 1 et g 2 sont sans zéro commun.
D’après 11.3.4, il existe h 1 , h 2 ∈ H(U ) vérifiant h 1 g 1 + h 2 g 2 = 1. On en déduit que
f = h 1 f 1 + h 2 f 2 . D’où H(U )f ⊂ a.
EXERCICES
Exercice 11.1. Soient U un ouvert connexe de C et a un idéal de H(U ).
a) On suppose qu’il existe a ∈ U qui n’est pas zéro commun à tous les éléments de a.
Soient f, g ∈ H(U ) vérifiant les conditions suivantes :
(i) f g ∈ a.
(ii) Si f a un zéro dans U , c’est a.
Prouver que g ∈ a.
b) On suppose que a est fermé dans H(U ) et qu’il n’existe aucun élément de U qui soit
zéro commun à tous les éléments de a. Montrer que a = H(U ).
Exercice 11.2. Soient U un ouvert connexe de C, A une partie localement finie de U
et a un idéal de H(U ).
a) Soit (u n ) n une suite d’éléments de H(U ) convergeant uniformément sur tout compact de U \A. Prouver que (u n ) n converge uniformément sur tout compact de U .
b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) a est de type fini.
(ii) a est principal.
(iii) a est fermé dans H(U ).
11 • Holomorphie et parties localement finies
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est claire. Supposons (ii) vérifié, et prouvons
(i). Ecrivons a = H(U )f 1 + · · · + H(U )f n . Par récurrence sur n, il suffit d’établir le
résultat si n = 2.
Soient E = Z(f 1 )∩Z(f 2 ). Si E = ∅, l’assertion résulte de 11.3.4. Supposons E = ∅.
Pour a ∈ E, notons θ(a) = min{ω a (f 1 ), ω a (f 2 )}. D’après 11.2.4, il existe f ∈ H(U )
vérifiant Z(f ) = E et ω a (f ) = θ(a) pour tout a ∈ E. Les fonctions f 1 /f et f 2 /f
se prolongent en des éléments g 1 , g 2 ∈ H(U ). Comme f 1 = g 1 f et f 2 = g 2 f , il
vient a ⊂ H(U )f . D’autre part, par construction, g 1 et g 2 sont sans zéro commun.
D’après 11.3.4, il existe h 1 , h 2 ∈ H(U ) vérifiant h 1 g 1 + h 2 g 2 = 1. On en déduit que
f = h 1 f 1 + h 2 f 2 . D’où H(U )f ⊂ a.
EXERCICES
Exercice 11.1. Soient U un ouvert connexe de C et a un idéal de H(U ).
a) On suppose qu’il existe a ∈ U qui n’est pas zéro commun à tous les éléments de a.
Soient f, g ∈ H(U ) vérifiant les conditions suivantes :
(i) f g ∈ a.
(ii) Si f a un zéro dans U , c’est a.
Prouver que g ∈ a.
b) On suppose que a est fermé dans H(U ) et qu’il n’existe aucun élément de U qui soit
zéro commun à tous les éléments de a. Montrer que a = H(U ).
Exercice 11.2. Soient U un ouvert connexe de C, A une partie localement finie de U
et a un idéal de H(U ).
a) Soit (u n ) n une suite d’éléments de H(U ) convergeant uniformément sur tout compact de U \A. Prouver que (u n ) n converge uniformément sur tout compact de U .
b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) a est de type fini.
(ii) a est principal.
(iii) a est fermé dans H(U ).