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11.3 Idéaux
151
Démonstration. C’est clair si U = C (prendre A = Z). Supposons U = C. Il existe
a ∈ U \U . Pour tout n ∈ N ∗ , il existe z n ∈ U vérifiant |z n − a| < 1/n. Il est alors
immédiat que la suite (z n ) n répond à la question.
Proposition 11.3.3. Si U est un ouvert non vide de C, l’anneau H(U ) n’est pas
nœthérien.
Démonstration. Si f ∈ H(U ), on note Z(f ) l’ensemble des zéros de f . Soient A une
partie de U vérifiant les conditions de 11.3.2 et a l’ensemble des éléments f ∈ H(U )
tels que Z(f ) ∩ A soit infini. Il est clair que a est un idéal de H(U ). Supposons qu’il
existe f 1 , . . . , f n ∈ a tels que :
a = H(U )f 1 + · · · + H(U )f n .
Si f ∈ a, Z(f ) contient l’ensemble infini E = Z(f 1 ) ∩ · · · ∩ Z(f n ). Soit a ∈ E.
D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) tel que Z(g) = E\{a}. On a g ∈ a et E ⊂ Z(g).
Contradiction.
Proposition 11.3.4. Soient U un ouvert connexe de C et f, g ∈ H(U ) sans zéro
commun. Il existe h, , ∈ H vérifiant :
hf + g = 1 , Z(h) = ∅.
Démonstration. Si a ∈ U et si u est holomorphe dans un voisinage de a, on note
ω a (u) l’ordre du zéro a de u. On remarque que, si a est zéro d’une fonction holomorphe u, on a ω a (u) = ω a (e u − 1).
• Si g = 0, alors Z(f ) = ∅. Il suffit de prendre h = 1/f et = 0.
• Supposons g = 0. Soit a ∈ Z(g). Comme Z(f ) ∩ Z(g) = ∅, il existe un disque
ouvert D a = D(a, r a ) ⊂ U tel que f (z) = 0 pour z ∈ D a . D’après 10.4.3, il existe
u a ∈ H(D a ) vérifiant f |D a = exp(u a ). L’ensemble Z(f ) étant localement fini dans
U (4.3.3), il résulte de 11.2.4 qu’il existe v ∈ H(U ) vérifiant ω a (v − u a ) > ω a (g)
pour tout a ∈ Z(g). Alors :
ω a (f − e
v ) = ω a (e
ua
− e
v ) = ω a (e
ua−v
− 1) = ω a (u a − v).
On en déduit que (f −e v )/g se prolonge en une fonction holomorphe µ sur U . Comme
e
−v f − µe
−v g = 1,
on a obtenu le résultat.
Théorème 11.3.5. Soient U un ouvert connexe de C et a un idéal de H(U ). Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) a est principal.
(ii) a est de type fini.
11.3 Idéaux
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Démonstration. C’est clair si U = C (prendre A = Z). Supposons U = C. Il existe
a ∈ U \U . Pour tout n ∈ N ∗ , il existe z n ∈ U vérifiant |z n − a| < 1/n. Il est alors
immédiat que la suite (z n ) n répond à la question.
Proposition 11.3.3. Si U est un ouvert non vide de C, l’anneau H(U ) n’est pas
nœthérien.
Démonstration. Si f ∈ H(U ), on note Z(f ) l’ensemble des zéros de f . Soient A une
partie de U vérifiant les conditions de 11.3.2 et a l’ensemble des éléments f ∈ H(U )
tels que Z(f ) ∩ A soit infini. Il est clair que a est un idéal de H(U ). Supposons qu’il
existe f 1 , . . . , f n ∈ a tels que :
a = H(U )f 1 + · · · + H(U )f n .
Si f ∈ a, Z(f ) contient l’ensemble infini E = Z(f 1 ) ∩ · · · ∩ Z(f n ). Soit a ∈ E.
D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) tel que Z(g) = E\{a}. On a g ∈ a et E ⊂ Z(g).
Contradiction.
Proposition 11.3.4. Soient U un ouvert connexe de C et f, g ∈ H(U ) sans zéro
commun. Il existe h, , ∈ H vérifiant :
hf + g = 1 , Z(h) = ∅.
Démonstration. Si a ∈ U et si u est holomorphe dans un voisinage de a, on note
ω a (u) l’ordre du zéro a de u. On remarque que, si a est zéro d’une fonction holomorphe u, on a ω a (u) = ω a (e u − 1).
• Si g = 0, alors Z(f ) = ∅. Il suffit de prendre h = 1/f et = 0.
• Supposons g = 0. Soit a ∈ Z(g). Comme Z(f ) ∩ Z(g) = ∅, il existe un disque
ouvert D a = D(a, r a ) ⊂ U tel que f (z) = 0 pour z ∈ D a . D’après 10.4.3, il existe
u a ∈ H(D a ) vérifiant f |D a = exp(u a ). L’ensemble Z(f ) étant localement fini dans
U (4.3.3), il résulte de 11.2.4 qu’il existe v ∈ H(U ) vérifiant ω a (v − u a ) > ω a (g)
pour tout a ∈ Z(g). Alors :
ω a (f − e
v ) = ω a (e
ua
− e
v ) = ω a (e
ua−v
− 1) = ω a (u a − v).
On en déduit que (f −e v )/g se prolonge en une fonction holomorphe µ sur U . Comme
e
−v f − µe
−v g = 1,
on a obtenu le résultat.
Théorème 11.3.5. Soient U un ouvert connexe de C et a un idéal de H(U ). Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) a est principal.
(ii) a est de type fini.