150
11 • Holomorphie et parties localement finies
Démonstration. D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) dont les seuls zéros sont les
éléments de A, chaque a ∈ A étant zéro d’ordre 1 + m(a) de g.
Pour tout a ∈ A, considérons une fraction rationnelle de la forme
F a (z) =
1+m(a)
j=1
α j,a
(z − a) j ·
On veut montrer que l’on peut choisir les c j,a pour que, au voisinage de a, g(z)F a (z)
soit de la forme :
w 0,a + w 1,a (z − a) + · · · + w m(a),a (z − a)
m(a) +
∞
p=m(a)+1
β p (z − a)
p . (1)
Pour simplifier les notations, prenons a = 0, et posons m = m(0), w n,0 = w n ,
α j,0 = α j . Ecrivons, au voisinage de 0 :
g(z) =
∞
p+1
γ p z
p+m .
On veut obtenir :
g(z)F 0 (z) = w 0 + w 1 z + · · · + w m z
m +
∞
p=m+1
β p z
p .
(2)
On a d’autre part :
g(z)F 0 (z) =
m+1
j=1
α j z
m+1−j
∞
p=1
γ p z
p
.
(3)
Comparant les coefficients de 1, z, . . . , z m dans (2) et (3), on voit que, γ 1 étant non
nul, on peut déterminer les α j de proche en proche.
On obtient ainsi des fractions rationnelles F a vérifiant (1) pour tout a ∈ A. D’après
le théorème de Mittag-Leffler, il existe h ∈ H(U ) tel que les pôles de h soient les
éléments de A, la partie principale de h en a ∈ A étant F a . Alors, f = gh est solution
du problème.
11.3 IDÉAUX
11.3.1. Soit A un anneau commutatif. On dit qu’un idéal a de A est de type fini s’il
existe s’il existe n ∈ N ∗ et a 1 , . . . , a n ∈ A tels que a = Aa 1 + · · · + Aa n . L’idéal a
est dit principal s’il existe a ∈ A vérifiant a = Aa.
L’anneau A est dit nœthérien si tout idéal de A est de type fini. Il est dit principal s’il
est intègre et si tout idéal de A est principal.
Lemme 11.3.2. Soit U un ouvert non vide de C. Il existe une partie A de U vérifiant
les conditions suivantes :
(i) A est infinie.
(ii) A est localement finie dans U .
11 • Holomorphie et parties localement finies
Démonstration. D’après 11.2.4, il existe g ∈ H(U ) dont les seuls zéros sont les
éléments de A, chaque a ∈ A étant zéro d’ordre 1 + m(a) de g.
Pour tout a ∈ A, considérons une fraction rationnelle de la forme
F a (z) =
1+m(a)
j=1
α j,a
(z − a) j ·
On veut montrer que l’on peut choisir les c j,a pour que, au voisinage de a, g(z)F a (z)
soit de la forme :
w 0,a + w 1,a (z − a) + · · · + w m(a),a (z − a)
m(a) +
∞
p=m(a)+1
β p (z − a)
p . (1)
Pour simplifier les notations, prenons a = 0, et posons m = m(0), w n,0 = w n ,
α j,0 = α j . Ecrivons, au voisinage de 0 :
g(z) =
∞
p+1
γ p z
p+m .
On veut obtenir :
g(z)F 0 (z) = w 0 + w 1 z + · · · + w m z
m +
∞
p=m+1
β p z
p .
(2)
On a d’autre part :
g(z)F 0 (z) =
m+1
j=1
α j z
m+1−j
∞
p=1
γ p z
p
.
(3)
Comparant les coefficients de 1, z, . . . , z m dans (2) et (3), on voit que, γ 1 étant non
nul, on peut déterminer les α j de proche en proche.
On obtient ainsi des fractions rationnelles F a vérifiant (1) pour tout a ∈ A. D’après
le théorème de Mittag-Leffler, il existe h ∈ H(U ) tel que les pôles de h soient les
éléments de A, la partie principale de h en a ∈ A étant F a . Alors, f = gh est solution
du problème.
11.3 IDÉAUX
11.3.1. Soit A un anneau commutatif. On dit qu’un idéal a de A est de type fini s’il
existe s’il existe n ∈ N ∗ et a 1 , . . . , a n ∈ A tels que a = Aa 1 + · · · + Aa n . L’idéal a
est dit principal s’il existe a ∈ A vérifiant a = Aa.
L’anneau A est dit nœthérien si tout idéal de A est de type fini. Il est dit principal s’il
est intègre et si tout idéal de A est principal.
Lemme 11.3.2. Soit U un ouvert non vide de C. Il existe une partie A de U vérifiant
les conditions suivantes :
(i) A est infinie.
(ii) A est localement finie dans U .