© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
11.2 Applications
149
Théorème 11.2.6. (Théorème de Mittag-Leffler). Soient U un ouvert de C, A une
partie localement finie de U et, pour tout a ∈ A, P a un polynôme sans terme constant,
à coefficient dans C. Il existe f ∈ M(U ) vérifiant les conditions suivantes :
(i) Les éléments de A sont les seuls pôles de f .
(ii) Pour tout a ∈ A, la partie principale de f en a est P a
(z − a) −1
.
Démonstration. Soit a ∈ U un pôle de f d’ordre m. On a :
P a
1
z − a
=
α q
(z − a) q +
α q−1
(z − a) q−1 + · · · +
α 1
z − a
·
Soit p ∈ N ∗ tel que a /
∈ K p . En élevant à une puissance convenable une fonction ayant
la propriété de 11.2.3, (i), on obtient une fonction f 1 ∈ H(U ) vérifiant :
f 1 (a) = 1 , f 1 Kp
ε
q|α q |
[d(a, K p )]
q .
L’application méromorphe h 1 donnée par
h 1 (z) =
α q f 1 (z)
(z − a) q
a les propritées suivantes :
1) h 1 Kp
ε
q
·
2) a est le seul pôle de h 1 et la partie principale de de h 1 en a est de la forme :
P a
1
z − a
−
β q−1
(z − a) q−1 − · · · −
β 1
z − a
·
Procédant par récurrence, on voit que l’on peut construire une fonction h a ∈ M(U )
ayant a pour unique pôle, pour partie principale P a
(z − a) −1
en a, et vérifiant
h a Kp ε. On a obtenu le résultat si A est un singleton.
Envisageons le cas général, et utilisons la notations a p de la preuve de 11.2.4. Ce qui
précède montre l’existence d’une fonction méromorphe g p sur U , dont les seuls pôles
sont les éléments de A p , avec pour partie principale P a
(z − a) −1
si a ∈ A p , et
vérifiant g p Kp
1
p 2 · Compte tenu de 8.8.4, on voit que la fonction méromorphe
sur U définie par
f (z) =
a∈A0
P a
1
z − a
+
∞
p=1
g p (z)
est solution du problème.
Théorème 11.2.7. Soient U un ouvert de C, A une partie localement finie de A,
et m : A → N une application. Si a ∈ A, soient w n,a des nombres complexes avec
0 n m(a). Il existe f ∈ H(U ) telle que f (n) (a) = n!w n,a pour tout a ∈ A et
0 n m(a).
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Théorème 11.2.6. (Théorème de Mittag-Leffler). Soient U un ouvert de C, A une
partie localement finie de U et, pour tout a ∈ A, P a un polynôme sans terme constant,
à coefficient dans C. Il existe f ∈ M(U ) vérifiant les conditions suivantes :
(i) Les éléments de A sont les seuls pôles de f .
(ii) Pour tout a ∈ A, la partie principale de f en a est P a
(z − a) −1
.
Démonstration. Soit a ∈ U un pôle de f d’ordre m. On a :
P a
1
z − a
=
α q
(z − a) q +
α q−1
(z − a) q−1 + · · · +
α 1
z − a
·
Soit p ∈ N ∗ tel que a /
∈ K p . En élevant à une puissance convenable une fonction ayant
la propriété de 11.2.3, (i), on obtient une fonction f 1 ∈ H(U ) vérifiant :
f 1 (a) = 1 , f 1 Kp
ε
q|α q |
[d(a, K p )]
q .
L’application méromorphe h 1 donnée par
h 1 (z) =
α q f 1 (z)
(z − a) q
a les propritées suivantes :
1) h 1 Kp
ε
q
·
2) a est le seul pôle de h 1 et la partie principale de de h 1 en a est de la forme :
P a
1
z − a
−
β q−1
(z − a) q−1 − · · · −
β 1
z − a
·
Procédant par récurrence, on voit que l’on peut construire une fonction h a ∈ M(U )
ayant a pour unique pôle, pour partie principale P a
(z − a) −1
en a, et vérifiant
h a Kp ε. On a obtenu le résultat si A est un singleton.
Envisageons le cas général, et utilisons la notations a p de la preuve de 11.2.4. Ce qui
précède montre l’existence d’une fonction méromorphe g p sur U , dont les seuls pôles
sont les éléments de A p , avec pour partie principale P a
(z − a) −1
si a ∈ A p , et
vérifiant g p Kp
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p 2 · Compte tenu de 8.8.4, on voit que la fonction méromorphe
sur U définie par
f (z) =
a∈A0
P a
1
z − a
+
∞
p=1
g p (z)
est solution du problème.
Théorème 11.2.7. Soient U un ouvert de C, A une partie localement finie de A,
et m : A → N une application. Si a ∈ A, soient w n,a des nombres complexes avec
0 n m(a). Il existe f ∈ H(U ) telle que f (n) (a) = n!w n,a pour tout a ∈ A et
0 n m(a).