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11 • Holomorphie et parties localement finies
Soit r = f Kp < 1. D’après 11.1.2, si z ∈ K p , on a :
|g n (z) − 1| |f (z)|
n+1
r
n+1 .
On voit donc que la suite (g n − 1) n converge uniformément vers 0 sur K p . On a ainsi
le résultat en prenant g = g n avec n assez grand.
Théorème 11.2.4. (Théorème de Weierstrass). Soient U un ouvert de C, A une
partie localement finie de U , et m : A → N ∗ une application. Il existe f ∈ H(U )
vérifiant les conditions suivantes :
(i) Les seuls zéros de f sont les éléments de A.
(ii) Tout a ∈ A est zéro d’ordre m(a) de f .
Démonstration. Posons A 0 = A ∩ K 1 et A p = A ∩ (K p+1 \K p ) pour p 1. On
indexe les éléments de A en une suite (a n ) n1 de sorte que, pour tout a ∈ A, on
ait card{n ∈ N ∗ ; a n = a} = m(a). On peut en outre supposer que si a s ∈ A p et
a t ∈ A p+1 , alors s < t.
Si α, β ∈ C, on a :
|αβ − 1| |α − 1| |β − 1| + |α − 1| + |β − 1|.
D’après ce qui précède et 11.2.3, pour tout p ∈ N ∗ , il existe g p ∈ H(U ) vérifiant les
conditions suivantes :
1) Les seuls zéros de g p sont les éléments de A p .
2) Tout a ∈ A p est zéro d’ordre m(a) de g p .
3) On a g p − 1 Kp
1
p 2 ·.
Comme tout compact K de U est contenu dans un K p , la série de fonctions
n1 (g p − 1) est normalement convergente sur tout compact de U . Compte tenu de
9.2.3 et 9.2.5, on voit alors que la fonction définie sur U par
f (z) =
a∈A0
(z − a)
m(a)
∞
p=1
g p (z)
vérifie les conditions de l’énoncé.
Corollaire 11.2.5. Soient U un ouvert de C et f ∈ M(U ). Alors f est de la forme
g/h, avec g, h ∈ H(U ), sans zéro commun.
Démonstration. Quitte à raisonner dans chaque composante connexe de U , on peut
supposer U connexe. Si f ∈ H(U ), le résultat est clair. Sinon, l’ensemble A des pôles
de f est localement fini dans U . Pour a ∈ A, soit m(a) l’ordre de a en tant que pôle
de f . Soit g ∈ H(U ) associée à
a, m(a)
a∈A
comme en 11.2.4. Alors h = f g est
holomorphe dans U et aucun point de A n’est zéro de h.
11 • Holomorphie et parties localement finies
Soit r = f Kp < 1. D’après 11.1.2, si z ∈ K p , on a :
|g n (z) − 1| |f (z)|
n+1
r
n+1 .
On voit donc que la suite (g n − 1) n converge uniformément vers 0 sur K p . On a ainsi
le résultat en prenant g = g n avec n assez grand.
Théorème 11.2.4. (Théorème de Weierstrass). Soient U un ouvert de C, A une
partie localement finie de U , et m : A → N ∗ une application. Il existe f ∈ H(U )
vérifiant les conditions suivantes :
(i) Les seuls zéros de f sont les éléments de A.
(ii) Tout a ∈ A est zéro d’ordre m(a) de f .
Démonstration. Posons A 0 = A ∩ K 1 et A p = A ∩ (K p+1 \K p ) pour p 1. On
indexe les éléments de A en une suite (a n ) n1 de sorte que, pour tout a ∈ A, on
ait card{n ∈ N ∗ ; a n = a} = m(a). On peut en outre supposer que si a s ∈ A p et
a t ∈ A p+1 , alors s < t.
Si α, β ∈ C, on a :
|αβ − 1| |α − 1| |β − 1| + |α − 1| + |β − 1|.
D’après ce qui précède et 11.2.3, pour tout p ∈ N ∗ , il existe g p ∈ H(U ) vérifiant les
conditions suivantes :
1) Les seuls zéros de g p sont les éléments de A p .
2) Tout a ∈ A p est zéro d’ordre m(a) de g p .
3) On a g p − 1 Kp
1
p 2 ·.
Comme tout compact K de U est contenu dans un K p , la série de fonctions
n1 (g p − 1) est normalement convergente sur tout compact de U . Compte tenu de
9.2.3 et 9.2.5, on voit alors que la fonction définie sur U par
f (z) =
a∈A0
(z − a)
m(a)
∞
p=1
g p (z)
vérifie les conditions de l’énoncé.
Corollaire 11.2.5. Soient U un ouvert de C et f ∈ M(U ). Alors f est de la forme
g/h, avec g, h ∈ H(U ), sans zéro commun.
Démonstration. Quitte à raisonner dans chaque composante connexe de U , on peut
supposer U connexe. Si f ∈ H(U ), le résultat est clair. Sinon, l’ensemble A des pôles
de f est localement fini dans U . Pour a ∈ A, soit m(a) l’ordre de a en tant que pôle
de f . Soit g ∈ H(U ) associée à
a, m(a)
a∈A
comme en 11.2.4. Alors h = f g est
holomorphe dans U et aucun point de A n’est zéro de h.