© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
11.2 Applications
147
11.2 APPLICATIONS
11.2.1. Soit f une fonction holomorphe non nulle dans un ouvert connexe U . D’après
4.3.3 et 8.1.2, l’ensemble des zéros de f est dénombrable. On peut donc indexer les
éléments de cet ensemble pour obtenir une suite de nombres complexes.
Théorème. (Théorème de factorisation de Weierstrass). Soient f une fonction entière vérifiant f (0) = 0 et (a n ) n la suite des zéros de f comptés avec leur multiplicité.
Il existe g ∈ H(C) et une suite (p n ) n d’entiers positifs ou nuls tels que
f (z) = e
g(z)
∞
n=0
E pn
z
a n
.
Démonstration. Si n ∈ N, notons p n la multiplicité du zéro a n de f . Soit E le
produit canonique de Weierstrass associé aux suites (a n ) n et (p n ) n . La fonction f /E
se prolonge en une fonction entière h sans zéro. Comme C est simplement connexe
(10.1.10), il existe g ∈ H(C) vérifiant h = e g (10.4.3). D’où le résultat.
Remarque. La factorisation de f dans le théorème 11.2.1 n’est pas unique.
D’autre part, si l’ensemble des zéros de f est fini, il est clair que l’on remplace
le produit infini de 11.2.1 par un produit fini.
11.2.2. Soit U un ouvert de C.
Si f ∈ H(U ) et si A est une partie de U , on note f A = sup{|f (z)| ; z ∈ A}.
Pour p ∈ N ∗ , posons K p = {z ∈ U ; |z| p} si U = C, et
K p =
z ∈ U ; |z| p, d(z, C\U )
1
p
si U = C. Les ensembles K p sont ceux définis en 8.1.1.
On va utiliser ces notations dans la suite de ce paragraphe.
Proposition 11.2.3. Soient p ∈ N ∗ et a ∈ U \K p .
(i) Il existe f ∈ H(U ) injective et vérifiant f (a) = 1, f Kp < 1.
(ii) Pour tout ε > 0, il existe g ∈ H(U ) telle que g − 1 Kp ε, admettant a comme
unique zéro, l’ordre de ce zéro étant égal à 1.
Démonstration. (i) Si |a| < p, la fonction f (z) =
z
a
convient. Si d(a, C\U ) < p −1 ,
il existe b ∈ C\U tel que |a − b| < p −1 , et alors f (z) =
a − b
z − b
convient.
(ii) Soit f comme en (i) et, pour n 1, soit :
g n = E n (f ).
Pour tout n ∈ N ∗ , a est l’unique zéro de g n . D’autre part, comme f est injective, on a
f (a) = 0 (8.7.2), donc a est zéro d’ordre 1 de g n .
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11.2.1. Soit f une fonction holomorphe non nulle dans un ouvert connexe U . D’après
4.3.3 et 8.1.2, l’ensemble des zéros de f est dénombrable. On peut donc indexer les
éléments de cet ensemble pour obtenir une suite de nombres complexes.
Théorème. (Théorème de factorisation de Weierstrass). Soient f une fonction entière vérifiant f (0) = 0 et (a n ) n la suite des zéros de f comptés avec leur multiplicité.
Il existe g ∈ H(C) et une suite (p n ) n d’entiers positifs ou nuls tels que
f (z) = e
g(z)
∞
n=0
E pn
z
a n
.
Démonstration. Si n ∈ N, notons p n la multiplicité du zéro a n de f . Soit E le
produit canonique de Weierstrass associé aux suites (a n ) n et (p n ) n . La fonction f /E
se prolonge en une fonction entière h sans zéro. Comme C est simplement connexe
(10.1.10), il existe g ∈ H(C) vérifiant h = e g (10.4.3). D’où le résultat.
Remarque. La factorisation de f dans le théorème 11.2.1 n’est pas unique.
D’autre part, si l’ensemble des zéros de f est fini, il est clair que l’on remplace
le produit infini de 11.2.1 par un produit fini.
11.2.2. Soit U un ouvert de C.
Si f ∈ H(U ) et si A est une partie de U , on note f A = sup{|f (z)| ; z ∈ A}.
Pour p ∈ N ∗ , posons K p = {z ∈ U ; |z| p} si U = C, et
K p =
z ∈ U ; |z| p, d(z, C\U )
1
p
si U = C. Les ensembles K p sont ceux définis en 8.1.1.
On va utiliser ces notations dans la suite de ce paragraphe.
Proposition 11.2.3. Soient p ∈ N ∗ et a ∈ U \K p .
(i) Il existe f ∈ H(U ) injective et vérifiant f (a) = 1, f Kp < 1.
(ii) Pour tout ε > 0, il existe g ∈ H(U ) telle que g − 1 Kp ε, admettant a comme
unique zéro, l’ordre de ce zéro étant égal à 1.
Démonstration. (i) Si |a| < p, la fonction f (z) =
z
a
convient. Si d(a, C\U ) < p −1 ,
il existe b ∈ C\U tel que |a − b| < p −1 , et alors f (z) =
a − b
z − b
convient.
(ii) Soit f comme en (i) et, pour n 1, soit :
g n = E n (f ).
Pour tout n ∈ N ∗ , a est l’unique zéro de g n . D’autre part, comme f est injective, on a
f (a) = 0 (8.7.2), donc a est zéro d’ordre 1 de g n .