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11 • Holomorphie et parties localement finies
On en déduit que le développement en série de −E p est de la forme
−E p (z) =
∞
n=p
a n z
n ,
où les a n sont des réels strictement positifs. Comme E p (0) = 1, on obtient :
1 − E p (z) =
∞
n=p
a n
z n+1
n + 1
·
Par conséquent, puisque E p (1) = 0, si 0 < |z| 1 :
1 − E p (z)
z p+1
∞
n=p
a n
|z| n−p
n + 1
∞
n=p
a n
n + 1
=
1 − E p (1)
1 p+1
= 1.
D’où le lemme.
Théorème 11.1.3. Soit (z n ) n une suite de nombres complexes non nuls vérifiant
lim n r n = +∞, avec r n = |z n |. Soit (p n ) n une suite d’entiers positifs ou nuls telle
que
∞
n=0
r
r n
1+pn
< +∞.
pour tout réel r strictement positif. Alors le produit infini
E(z) =
∞
n=0
E pn
z
z n
converge normalement sur tout compact de C. L’ensemble des zéros de la fonction
entière E est {z n ; n ∈ N}. La multiplicité du zéro a de E est le nombre d’entiers
n tels que a = z n . On dit que E est le produit canonique de Weierstrass associé aux
suites (z n ) n et (p n ) n .
Démonstration. Si |z| r r n , il résulte de 11.1.2 que
1 − E pn
z
z n
z
z n
1+pn
r
r n
1+pn
.
Comme r n tend vers +∞ si n tend vers +∞, la série de terme général
1−E pn
z
z n
est normalement convergente sur tout compact de C. Le théorème est alors conséquence de 9.2.3 et 9.2.5.
Remarque. Si la série
r −1
n est convergente on peut prendre p n = 0 pour
tout n. Le produit canonique est alors :
E(z) =
∞
n=0
1 −
z
z n
.
De même, si la série
r −2
n converge, on peut prendre p n = 1 pour tout n, et
le produit canonique est alors :
E(z) =
∞
n=0
1 −
z
z n
exp
z
z n
.