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Chapitre 11
Holomorphie et parties
localement finies
Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). On a prouvé que l’ensemble des zéros de
f est une partie localement finie de U . Dans ce chapitre, on va montrer que, si A
est une partie localement finie de U , il existe une fonction holomorphe dans U
dont l’ensemble des zéros est A. On étudie aussi quelques questions analogues.
11.1 PRODUIT CANONIQUE DE WEIERSTRASS
11.1.1. On pose
E 0 (z) = 1 − z et E p (z) = (1 − z) exp
z +
z 2
2
+ · · · +
z p
p
si p 1.
On dit que E p est le p
ème facteur élémentaire de Weierstrass. Si |z| < 1, il vient :
E p (z) = exp
Log(1 − z) + z +
z 2
2
+ · · · +
z p
p
= exp
−
∞
n=p+1
z n
n
.
Lemme 11.1.2. Si p ∈ N et |z| 1, on a |E p (z) − 1| |z| p+1 .
Démonstration. C’est évident si p = 0. Supposons p 1. Il vient facilement :
−E
p (z) = z
p exp
z +
z 2
2
+ · · · +
z p
p
.