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10 • Homotopie et holomorphie
Exercice 10.3. Posons u =
1
z
, f (z) = g(u) =
u
u − 1
e u .
Supposons z ∈ C 1 . On a alors |u| < 1 et :
g(u) = −u
∞
n=0
u
n
∞
n=0
u n
n!
.
On a alors facilement :
f (z) = −
∞
n=0
1 +
1
1!
+
1
n!
1
z n+1 ·
Supposons z ∈ C 2 . Alors u ∈ C 1 et, dans C 1 , g a un développement de Laurent dont
on note a n , n ∈ Z, les coefficients. Si γ est le cercle C(0, 1) orienté dans le sens
direct, on sait que
a n =
1
2iπ
γ
g(u)
u n+1 du =
1
2iπ
γ
e u
u n (u − 1)
du.
Par suite, si h n (u) =
e u
u n (u − 1)
, on a a n = Res(h n , 0) + Res(h n , 1).
Comme 1 est pôle simple de h n , on trouve Res(h n , 1) = e (voir 8.4.2). Si n 0, on a
Res(h n , 0) = 0. Traitons le cas où n > 1. d’après l’étude du premier cas, au voisinage
de 0, il vient :
h n (u) = −
1
u n
∞
p=0
1 +
1
1!
+ · · · +
1
p!
u
p .
On a alors Res(h n , 0) = −1 −
1
1!
− · · · −
1
(n − 1)!
si n > 0. On obtient alors
f (z) =
∞
n=0
ez
n
−
−1
−∞
1 +
1
1!
+ · · · +
1
(−n − 1)!
z
n
si z ∈ C 2 .
Exercice 10.4. La fonction f g étant holomorphe dans U a un développement de
Laurent dans U :
f (z)g(z) =
∞
−∞
c n z
n .
Si r < ρ < R et si γ est le cercle C(0, ρ) orienté dans le sens direct, on sait que
c n =
1
2iπ
γ
f (z)g(z)
z n+1 dz et b n−p =
1
2iπ
γ
g(z)
z n−p+1 dz.
La série
∞
−∞ a n z n g(z) est normalement convergente sur C(0, ρ). On a donc :
c n =
1
2iπ
∞
−∞
a p
γ
z
p−n−1 g(z) dz.
D’où immédiatement le résultat.