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Solutions des exercices
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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 10.1. Si z = 0, on a :
sin
z − 1
z
= (sin 1) cos
1
z
− (cos 1) sin
1
z
.
Comme
sin
1
z
=
∞
n=0
(−1) n
(2n + 1)!z 2n+1 et cos
1
z
=
∞
n=0
(−1) n
(2n)!z 2n
,
on obtient facilement le résultat demandé.
Exercice 10.2. Si z ∈ D, on a :
1
1 − z 2 =
∞
n=0
z
2n ,
1
2 − z
=
1
2
1
1 −
z
2
=
∞
n=0
z n
2 n+1 ·
Si, pour k ∈ N, on pose a 2k = 1 +
1
2 2k+1 ,a 2k+1 =
1
2 2k+2 , on a, pour z ∈ D :
f (z) =
∞
n=0
a n z
n .
Si z ∈ C 1 , il vient :
1
1 − z 2 = −
1
z 2
1
1 −
1
z 2
= −
∞
n=0
1
z 2n+2 ,
1
2 − z
=
∞
n=0
z n
2 n+1 .
Si l’on pose b n =
1
2 n+1 pour n 0, b n = −1 si n ∈ −2N ∗ , et b n = 0 si
n ∈ −2N ∗ + 1, on obtient, pour z ∈ C 1 :
f (z) =
∞
−∞
b n z
n .
Supposons z ∈ C 2 . Il vient :
1
1 − z 2 = −
∞
n=0
1
z 2n+2 ,
1
2 − z
= −
1
z
1
1 −
2
z
= −
∞
n=0
2 n
z n+1 ·
Ainsi, si z ∈ C 2 , on obtient
f (z) =
−1
−∞
c n z
n ,
avec c 2n = −1 −
1
2 2n−1 et c 2n+1 = −
1
2 2n+2 si n ∈ −N ∗ .