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10 • Homotopie et holomorphie
10.6.5. D’après ce qui précède, on obtient, comme en 8.6.2, le résultat suivant :
Théorème 10.6.6. (Théorème de Rouché). Soient U un ouvert de C, γ un lacet dans
U , homotope à un point dans U , et f, g ∈ H(U ). On suppose que f (respectivement
g) n’a qu’un nombre fini de zéros a 1 , . . . , a m (respectivement b 1 , . . . , b n ) dans U ,
comptés avec leur multiplicié, et que |f (z) − g(z)| < |f (z)| pour tout z ∈ im γ.
Alors :
m
k=1
ind γ (a k ) =
n
j=1
ind γ (b j ).
EXERCICES
Exercice 10.1. Déterminer le développement de Laurent en puissances de z de
f (z) = sin
z − 1
z
dans C ∗ .
Exercice 10.2. Soient D = D(0, 1), C 1 = C(0, 1, 2), C 2 = {z ∈ C ; 2 < |z|}.
Déterminer les développements de Laurent en puissances de z de
f (z) =
1
1 − z 2 +
1
2 − z
dans D, C 1 , C 2 .
Exercice 10.3. Soient C 1 = {z ∈ C ; |z| > 1} et C 2 = C(0, 0, 1). Déterminer les
développements de Laurent en puissances de z de
f (z) =
1
1 − z
exp
1
z
dans C 1 et C 2 .
Exercice 10.4. Soient r, R ∈ [0, +∞], U la couronne C(0, r, R), et
f (z) =
∞
−∞
a n z
n , g(z) =
∞
−∞
b n z
n
les développements de Laurent de deux fonctions holomorphes dans U .
Montrer que, pour tout n ∈ Z, on peut définir :
c n =
∞
−∞
a p b n−p .
Prouver que, si z ∈ U , on a :
f (z)g(z) =
∞
−∞
c n z
n .