© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
10.6 Les généralisations
141
Théorème 10.6.2. (Théorème des résidus). Soient U un ouvert de C, a 1 , . . . , a n des
points distincts de U , et f une fonction holomorphe dans U \{a 1 , . . . , a n }. Soit γ un
lacet dans U , homotope à un point dans U , et tel que im γ ne contienne aucun des a k .
Alors :
γ
f (z) dz = 2iπ
n
k=1
ind γ (a k ) Res(f, a k ).
Démonstration. Pour 1 k n, soit h k la partie principale de f en a k . Si l’on note
g = f − h 1 − · · · − h n , alors g a une singularité illusoire en tout point a k . Elle se
prolonge en une fonction holomorphe dans U , donc (10.4.1) :
γ
g(z) dz = 0 ⇒
γ
f (z) dz =
n
k=1
γ
h k (z) dz.
D’après 10.6.1 et 10.2.5, on a
γ
h k (z) dz =
γ
Res(f, a k )
z − a
dz.
D’où le résultat.
Lemme 10.6.3. Soient U, V des ouverts de C, γ un arc dans U , f ∈ H(U ) à valeurs
dans V , et g ∈ H(V ). Alors :
γ
g
f (z)
f
(z) dz =
f ◦γ
g(z) dz.
Démonstration. Soit ψ une primitive de g le long de f ◦γ. Si t 0 ∈ [0, 1], il existe un
voisinage I 0 de t 0 dans [0, 1] et une primitive G 0 de g, définie dans un voisinage W 0
de f ◦γ(t 0 ), tels que t ∈ I 0 implique f ◦γ(t) ∈ W 0 et ψ(t) = G 0
f ◦γ(t)
.
Pour z ∈ f −1 (W 0 ), on a
G 0
f (z)
= g◦f (z)f (z). Ceci montre que G 0 ◦f est
une primitive locale de (g◦f )f . Par suite, ψ est une primitive de (g◦f )f le long de
f ◦γ. D’où le résultat.
Théorème 10.6.4. (Théorème de l’indice). Soient U un ouvert de C, g ∈ H(U ),
et f ∈ M(U ) n’ayant qu’un nombre fini de zéros a 1 , . . . , a m dans U (comptés avec
leur multiplicité), et qu’un nombre fini de pôles b 1 , . . . , b n dans U (comptés avec leur
multiplicité). Soit γ un lacet dans U , homotope à un point dans U , et dont l’image ne
contient aucun des a k et aucun des b j . Alors :
1
2iπ
γ
g(z)
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
g(a k ) ind γ (a k ) −
n
j=1
g(a j ) ind γ (b j ).
En particulier :
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
ind γ (a k ) −
k
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. Compte tenu de 10.6.3, on modifie facilement la preuve de 8.5.1 pour
obtenir le résultat.
10.6 Les généralisations
141
Théorème 10.6.2. (Théorème des résidus). Soient U un ouvert de C, a 1 , . . . , a n des
points distincts de U , et f une fonction holomorphe dans U \{a 1 , . . . , a n }. Soit γ un
lacet dans U , homotope à un point dans U , et tel que im γ ne contienne aucun des a k .
Alors :
γ
f (z) dz = 2iπ
n
k=1
ind γ (a k ) Res(f, a k ).
Démonstration. Pour 1 k n, soit h k la partie principale de f en a k . Si l’on note
g = f − h 1 − · · · − h n , alors g a une singularité illusoire en tout point a k . Elle se
prolonge en une fonction holomorphe dans U , donc (10.4.1) :
γ
g(z) dz = 0 ⇒
γ
f (z) dz =
n
k=1
γ
h k (z) dz.
D’après 10.6.1 et 10.2.5, on a
γ
h k (z) dz =
γ
Res(f, a k )
z − a
dz.
D’où le résultat.
Lemme 10.6.3. Soient U, V des ouverts de C, γ un arc dans U , f ∈ H(U ) à valeurs
dans V , et g ∈ H(V ). Alors :
γ
g
f (z)
f
(z) dz =
f ◦γ
g(z) dz.
Démonstration. Soit ψ une primitive de g le long de f ◦γ. Si t 0 ∈ [0, 1], il existe un
voisinage I 0 de t 0 dans [0, 1] et une primitive G 0 de g, définie dans un voisinage W 0
de f ◦γ(t 0 ), tels que t ∈ I 0 implique f ◦γ(t) ∈ W 0 et ψ(t) = G 0
f ◦γ(t)
.
Pour z ∈ f −1 (W 0 ), on a
G 0
f (z)
= g◦f (z)f (z). Ceci montre que G 0 ◦f est
une primitive locale de (g◦f )f . Par suite, ψ est une primitive de (g◦f )f le long de
f ◦γ. D’où le résultat.
Théorème 10.6.4. (Théorème de l’indice). Soient U un ouvert de C, g ∈ H(U ),
et f ∈ M(U ) n’ayant qu’un nombre fini de zéros a 1 , . . . , a m dans U (comptés avec
leur multiplicité), et qu’un nombre fini de pôles b 1 , . . . , b n dans U (comptés avec leur
multiplicité). Soit γ un lacet dans U , homotope à un point dans U , et dont l’image ne
contient aucun des a k et aucun des b j . Alors :
1
2iπ
γ
g(z)
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
g(a k ) ind γ (a k ) −
n
j=1
g(a j ) ind γ (b j ).
En particulier :
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
ind γ (a k ) −
k
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. Compte tenu de 10.6.3, on modifie facilement la preuve de 8.5.1 pour
obtenir le résultat.