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10 • Homotopie et holomorphie
• S’il existe une infinité d’indices n tels que α −n = 0, nécessairement, d’après 8.2.3,
f a une singularité essentielle en a.
Les trois cas précédents s’excluant mutuellement, on a bien obtenu une nouvelle caractérisation des singularités isolées en fonction du développement de Laurent.
Dans les cas où f n’a pas de singularité illusoire en a, on dit encore (voir 8.2.3) que
+∞
n=1
α −n (z − a)
−n
est la partie principale de f en a, et que α −1 est le résidu de f en a (voir 8.4.1). On
note encore α −1 = Res(f, a), et on convient que Res(f, a) = 0 si f a une singularité
illusoire en a.
10.6 LES GÉNÉRALISATIONS
Proposition 10.6.1. Soient C = C(a, r, R) une couronne dans C, f une fonction
holomorphe dans C, et
f (z) =
+∞
−∞
α n (z − a)
n
son développement de Laurent dans C. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f a des primitives dans C.
(ii) Res(f, a) = α −1 = 0.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Soit F une primitive de f dans C. On a alors des développements de Laurent dans C :
F (z) =
+∞
−∞
β n (z − a)
n
⇒ f (z) = F
(z) =
+∞
−∞
nβ n (z − a)
n−1 .
Ainsi, α n−1 = nβ n pour tout n ∈ Z. En particulier, α −1 = 0.
(ii) ⇒ (i) Soit γ un chemin fermé dans C. L’ensemble im γ étant compact, la série
+∞
−∞
α n
γ(t) − a)
n γ
(t)
est normalement convergente en les points de t ∈ [0, 1] où elle est définie. Ainsi :
γ
f (z) dz =
1
0
f
γ(t)
γ
(t) dt =
+∞
−∞
α n
γ
(z − a)
n dz.
Si n = −1, z →
1
n + 1
(z − a) n+1 est une primitive de z → (z − a) n . Par suite,
l’intégrale de (z − a) n le long de γ est nulle (10.2.5). On en déduit que, si α −1 = 0,
l’intégrale de f le long de γ est nulle. On conclut à nouveau d’après 10.2.5.