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10.5 Séries de Laurent
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Corollaire 10.5.5. (Inégalités de Cauchy). Soit f (z) =
+∞
−∞ α n (z − a) n le développement de Laurent d’une fonction f holomorphe dans une couronne C(a, r, R). Si
r < ρ < R et n ∈ Z, on a :
|α n |
sup{|f (z)| ; |z − a| = ρ}
ρ n
·
Démonstration. C’est immédiat d’après (7).
Proposition 10.5.6. Soit f une fonction holomorphe dans une couronne C(a, r, R).
Il existe un couple unique (f 1 , f 2 ), avec f 1 holomorphe dans D(a, R), f 2 holomorphe
dans {z ∈ C ; |z − a| > r}, et vérifiant :
f = f 1 + f 2 , lim
|z|→+∞
f 2 (z) = 0.
Démonstration. Si le développement de Laurent dans C(a, r, R) est
f (z) =
+∞
n=−∞
α n (z − a)
n ,
il suffit de prendre
f 1 (z) =
∞
n=0
α n (z − a)
n , f 2 (z) =
n<0
α n (z − a)
n
pour obtenir un couple (f 1 , f 2 ) répondant à la question. Soit (g 1 , g 2 ) un autre couple
solution. Si l’on définit h par
h(z) = f 1 (z) − g 1 (z) si |z| < r , h(z) = f 2 (z) − g 2 (z) si |z| > R,
h est une fonction entière qui tend vers 0 quand |z| tend vers +∞. D’après le théorème
de Liouville, g = 0. D’où (f 1 , f 2 ) = (g 1 , g 2 ).
10.5.7. L’existence d’un développement de Laurent va nous permettre de donner une
caractérisation autre que celle de 8.2.3 d’une singularité isolée.
Soient a ∈ C, R > 0, et U = D ∗ (a, R) le disque épointé de centre a et de rayon R.
Comme D ∗ (a, R) = C(a, 0, R), si f ∈ H(U ), elle a un développement de Laurent
dans U :
f (z) =
+∞
−∞
α n (z − a)
n .
• Si α n = 0 pour tout n < 0, il est clair que f a une singularité illusoire en a.
• Supposons qu’il existe p > 0 tel que α −p = 0 et α −n = 0 pour n > p. Il est
immédiat que a est un pôle d’ordre p de f et que la partie principale de f est
p
n=1
α −n (z − a)
−n .