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10 • Homotopie et holomorphie
Théorème 10.5.4. Soient a ∈ C, r, R ∈ [0, +∞], et f une fonction holomorphe dans
la couronne C = C(a, r, R). Il existe une et une seule suite de nombres complexes
(α n ) n∈Z telle que la série de Laurent
+∞
−∞ α n z n converge dans C(0, r, R) et vérifiant
pour tout z ∈ C :
f (z) =
+∞
−∞
α n (z − a)
n .
(6)
On dit que (6) est le développement de Laurent de f dans C. Si r < ρ < R et si γ est
le cercle C(a, ρ) orienté dans le sens direct, on a, pour tout n ∈ Z :
α n =
1
2iπ
γ
f (z)
(z − a) n+1 dz =
1
2πρ n
2π
0
f (a + ρe
it )e
−int dt.
(7)
Démonstration. Fixons ρ 1 , ρ 2 vérifiant r < ρ 1 < ρ 2 < R, et utilisons les notations
γ 1 , γ 2 de 10.5.3. Si ρ 1 < r 1 |z − a| r 2 < ρ 2 , on a :
f (z) =
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ −
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ.
Notons M = sup{|f (ζ)| ; ζ ∈ C (a, ρ 1 , ρ 2 )}.
Si |ζ − a| = ρ 2 , il vient :
f (ζ)
ζ − z
=
∞
n=0
f (ζ)(z − a) n
(ζ − a) n+1 et
f (ζ)(z − a) n
(ζ − a) n+1
Mr n
2
ρ
n+1
2
·
On peut donc intégrer la série terme à terme. D’où :
γ2
f (ζ)
ζ − z
dz =
∞
n=0
γ2
f (ζ)
(ζ − a) n+1 dζ
(z − a)
n .
De même, si |ζ − a| = ρ 1 :
−f (ζ)
(ζ − a)
=
∞
n=0
f (ζ)(ζ − a) n
(z − a) n+1 =
n=−1
−∞
f (ζ)(z − a) n
(ζ − a) n+1 ,
f (ζ)(z − a) n
(ζ − a) n+1
Mr n
1
ρ
n+1
1
·
On a alors :
γ1
f (ζ)
ζ − z
dζ =
n=−1
−∞
γ1
f (ζ)
(ζ − a) n+1 dζ
(z − a)
n .
On a donc montré qu’il existe un développement de la forme (6). Prouvons l’unicité.
Supposons que, si r < ρ < R, on ait
f (a + ρe
it ) =
+∞
−∞
α n ρ
n e
int ,
La convergence étant normale pour 0 t 2π, on peut intégrer terme à terme le
développement de f (a + ρe it )e −ikt . Alors :
2π
0
f (a + ρe
it )e
−ikt dt =
+∞
−∞
α n ρ
n
2π
0
e
i(n−k)t dt.
On en déduit immédiatement les formules (7).