© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
10.5 Séries de Laurent
137
10.5 SÉRIES DE LAURENT
10.5.1. Soient a ∈ C et r, R ∈ [0, +∞[ vérifiant r < R. On note
C(a, r, R) = {z ∈ C ; r < |z −a| < R} , C
(a, r, R) = {z ∈ C ; r |z −a| R}.
On dit que C(a, r, R) (respectivement C (a, r, R)) est la couronne ouverte (respectivement couronne fermée) associée à a, r et R.
10.5.2. Soient U un ouvert de C et (f n ) n∈Z une suite d’éléments de H(U ) indexée par
Z. On a défini en 8.8.5 la série
+∞
−∞ f n . On va envisager le cas où on a f n (z) = α n z n ,
avec α n ∈ C pour tout entier n.
La série entière
n1 α −n z n converge absolument dans un disque de rayon
1
r
, avec
r 0. Il en résulte que la série
∞
n=−1 α n z n =
+∞
n=1 α −n z −n converge absolument
pour |z| > r.
La série
n0 α n z n converge absolument dans un disque de rayon R 0, avec
R +∞.
Si r < R, la série
+∞
−∞ α n z n converge absolument pour r < |z| < R. On dit que
c’est la série de Laurent associée à la suite (α n ) n∈Z . Compte tenu de 3.2.1, cette
série de Laurent converge normalement dans toute couronne fermée C (0, r 1 , R 1 ),
avec r < r 1 < R 1 < R. Il résulte alors de 7.4.2 que sa somme est holomorphe
dans C(0, r, R). On définit des notions analogues pour une couronne C(a, r, R), avec
a ∈ C.
Théorème 10.5.3. (Formule de Cauchy pour une couronne). Soient f une fonction holomorphe dans une couronne C = C(a, r, R) et ρ 1 , ρ 2 des réels vérifiant
r < ρ 1 < ρ 2 < R. On note γ 1 (respectivement γ 2 ) le cercle C(a, ρ 1 ) (respectivement
C(a, ρ 2 )) orienté dans le sens direct. Si ρ 1 < |z| < ρ 2 , on a :
f (z) =
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ −
1
2iπ
γ1
f (ζ)
ζ − z
dζ.
Démonstration. Définissons g : C → C par :
g(z) =
1
2iπ
f
(z) , g(ζ) =
1
2iπ
f (ζ) − f (z)
ζ − z
si ζ = z.
La fonction g est continue sur C et holomorphe dans C\{z}. Par suite, elle est holomorphe dans C (6.5.5). Les lacets γ 1 et γ 2 sont homotopes dans C (10.1.6). Compte
tenu de 10.4.1, il vient :
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ − ind γ2 (z)f (z) =
1
2iπ
γ1
f (ζ)
ζ − z
dz − ind γ1 (z).
Or, ind γ1 (z) = 0 et ind γ2 (z) = 1 (6.3.3). D’où le résultat.
10.5 Séries de Laurent
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10.5 SÉRIES DE LAURENT
10.5.1. Soient a ∈ C et r, R ∈ [0, +∞[ vérifiant r < R. On note
C(a, r, R) = {z ∈ C ; r < |z −a| < R} , C
(a, r, R) = {z ∈ C ; r |z −a| R}.
On dit que C(a, r, R) (respectivement C (a, r, R)) est la couronne ouverte (respectivement couronne fermée) associée à a, r et R.
10.5.2. Soient U un ouvert de C et (f n ) n∈Z une suite d’éléments de H(U ) indexée par
Z. On a défini en 8.8.5 la série
+∞
−∞ f n . On va envisager le cas où on a f n (z) = α n z n ,
avec α n ∈ C pour tout entier n.
La série entière
n1 α −n z n converge absolument dans un disque de rayon
1
r
, avec
r 0. Il en résulte que la série
∞
n=−1 α n z n =
+∞
n=1 α −n z −n converge absolument
pour |z| > r.
La série
n0 α n z n converge absolument dans un disque de rayon R 0, avec
R +∞.
Si r < R, la série
+∞
−∞ α n z n converge absolument pour r < |z| < R. On dit que
c’est la série de Laurent associée à la suite (α n ) n∈Z . Compte tenu de 3.2.1, cette
série de Laurent converge normalement dans toute couronne fermée C (0, r 1 , R 1 ),
avec r < r 1 < R 1 < R. Il résulte alors de 7.4.2 que sa somme est holomorphe
dans C(0, r, R). On définit des notions analogues pour une couronne C(a, r, R), avec
a ∈ C.
Théorème 10.5.3. (Formule de Cauchy pour une couronne). Soient f une fonction holomorphe dans une couronne C = C(a, r, R) et ρ 1 , ρ 2 des réels vérifiant
r < ρ 1 < ρ 2 < R. On note γ 1 (respectivement γ 2 ) le cercle C(a, ρ 1 ) (respectivement
C(a, ρ 2 )) orienté dans le sens direct. Si ρ 1 < |z| < ρ 2 , on a :
f (z) =
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ −
1
2iπ
γ1
f (ζ)
ζ − z
dζ.
Démonstration. Définissons g : C → C par :
g(z) =
1
2iπ
f
(z) , g(ζ) =
1
2iπ
f (ζ) − f (z)
ζ − z
si ζ = z.
La fonction g est continue sur C et holomorphe dans C\{z}. Par suite, elle est holomorphe dans C (6.5.5). Les lacets γ 1 et γ 2 sont homotopes dans C (10.1.6). Compte
tenu de 10.4.1, il vient :
1
2iπ
γ2
f (ζ)
ζ − z
dζ − ind γ2 (z)f (z) =
1
2iπ
γ1
f (ζ)
ζ − z
dz − ind γ1 (z).
Or, ind γ1 (z) = 0 et ind γ2 (z) = 1 (6.3.3). D’où le résultat.