136
10 • Homotopie et holomorphie
Corollaire 10.4.2. Soit U un ouvert de C dont les composantes connexes sont simplement connexes.
(i) Si f ∈ H(U ) elle vérifie les propriétés de 10.2.5. En particulier, f possède des
primitives dans U
(ii) Si γ est un lacet dans U , on a ind γ (z) = 0 pour z /
∈ U .
Démonstration. (i) C’est clair d’après 10.4.1.
(ii) Si z /
∈ U , la fonction ζ → (ζ − z) −1 est holomorphe dans U , donc y possède des
primitives d’après (i). D’où le résultat (10.2.4).
Remarque. Compte tenu de 6.3.3 et 10.2.5, la fonction z → z −1 n’admet pas
de primitive dans C ∗ . Il en résulte que C ∗ n’est pas simplement connexe.
Corollaire 10.4.3. Soit U un ouvert simplement connexe de C.
(i) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant f = e g .
(ii) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , pour tout entier n 1, il existe h ∈ H(U )
telle que f = h n .
Démonstration. (i) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , la fonction
f
f
est holomorphe
dans U . D’après 10.4.2 (i), elle a une primitive dans U . On a f − f = 0, donc
(f e − ) = 0, puis f = ce , avec c ∈ C ∗ , puisque U est connexe. Si µ ∈ C vérifie
c = e µ (3.7.4), on obtient (i) en prenant g = + µ.
(ii) Soit g comme en (i). Si h =
1
n
g, il vient f = h n .
Théorème 10.4.4. (Formule de Cauchy). Soit U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ
un lacet dans U homotope à un point dans U . Pour tout z ∈ C\ im γ et tout n ∈ N,
on a :
ind γ (z)f
(n) (z) =
n!
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − z) n+1 dζ.
Démonstration. Définissons g : U → C par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
g(z) =
1
(n + 1)!
f (n+1) (z),
g(ζ) =
1
(ζ − z) n+1
f (z) −
n
k=0
1
k!
(ζ − z)
k f
(k) (z)
si ζ = z.
La fonction g est continue sur U et holomorphe dans U \{z}, donc g ∈ H(U ) (6.6.5).
Ecrivant que l’intégrale de g le long de γ est nulle (10.4.1), on obtient :
γ
f (ζ)
(ζ − z) n+1 dζ =
n
k=0
f (k) (z)
k!
γ
dζ
(ζ − z) n+1−k ·
Pour 0 k < n, ζ → (ζ − z) k−n−1 a une primitive dans C\{z} (6.4.2), donc les
intégrales correspondantes sont nulles (10.2.5). D’où le résultat.
10 • Homotopie et holomorphie
Corollaire 10.4.2. Soit U un ouvert de C dont les composantes connexes sont simplement connexes.
(i) Si f ∈ H(U ) elle vérifie les propriétés de 10.2.5. En particulier, f possède des
primitives dans U
(ii) Si γ est un lacet dans U , on a ind γ (z) = 0 pour z /
∈ U .
Démonstration. (i) C’est clair d’après 10.4.1.
(ii) Si z /
∈ U , la fonction ζ → (ζ − z) −1 est holomorphe dans U , donc y possède des
primitives d’après (i). D’où le résultat (10.2.4).
Remarque. Compte tenu de 6.3.3 et 10.2.5, la fonction z → z −1 n’admet pas
de primitive dans C ∗ . Il en résulte que C ∗ n’est pas simplement connexe.
Corollaire 10.4.3. Soit U un ouvert simplement connexe de C.
(i) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , il existe g ∈ H(U ) vérifiant f = e g .
(ii) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , pour tout entier n 1, il existe h ∈ H(U )
telle que f = h n .
Démonstration. (i) Si f ∈ H(U ) est sans zéro dans U , la fonction
f
f
est holomorphe
dans U . D’après 10.4.2 (i), elle a une primitive dans U . On a f − f = 0, donc
(f e − ) = 0, puis f = ce , avec c ∈ C ∗ , puisque U est connexe. Si µ ∈ C vérifie
c = e µ (3.7.4), on obtient (i) en prenant g = + µ.
(ii) Soit g comme en (i). Si h =
1
n
g, il vient f = h n .
Théorème 10.4.4. (Formule de Cauchy). Soit U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ
un lacet dans U homotope à un point dans U . Pour tout z ∈ C\ im γ et tout n ∈ N,
on a :
ind γ (z)f
(n) (z) =
n!
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − z) n+1 dζ.
Démonstration. Définissons g : U → C par :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
g(z) =
1
(n + 1)!
f (n+1) (z),
g(ζ) =
1
(ζ − z) n+1
f (z) −
n
k=0
1
k!
(ζ − z)
k f
(k) (z)
si ζ = z.
La fonction g est continue sur U et holomorphe dans U \{z}, donc g ∈ H(U ) (6.6.5).
Ecrivant que l’intégrale de g le long de γ est nulle (10.4.1), on obtient :
γ
f (ζ)
(ζ − z) n+1 dζ =
n
k=0
f (k) (z)
k!
γ
dζ
(ζ − z) n+1−k ·
Pour 0 k < n, ζ → (ζ − z) k−n−1 a une primitive dans C\{z} (6.4.2), donc les
intégrales correspondantes sont nulles (10.2.5). D’où le résultat.