© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
10.4 Formule de Cauchy
135
10.4 FORMULE DE CAUCHY
Théorème 10.4.1. (Théorème de Cauchy). Soient U un ouvert de C et γ 1 , γ 2 des
arcs (respectivement des lacets) dans U homotopes dans U . Pour toute fonction f
holomorphe dans U , on a :
γ1
f (z) dz =
γ2
f (z) dz.
Démonstration. Si deux arcs (respectivement lacets) sont homotopes dans U , ils appartiennent à la même composante connexe de U . On peut donc supposer U connexe.
Soit γ 1 un arc dans U . Si U = C, ε est un réel strictement positif. Si U = C, on
pose ε = d(im γ 1 , C\U ). Pour tout t ∈ [0, 1] le disque D t = D
γ 1 (t), ε) est contenu
dans U . Soit η > 0 tel que l’on ait |γ 1 (t) − γ 1 (t )| < ε dès que t, t ∈ [0, 1] vérifient
|t − t | < η. Soit enfin 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n = 1 une subdivision de [0, 1] telle que
|t i − t i+1 | < η pour 0 i n − 1. On sait (6.4.6) que f possède une primitive F i
dans D ti pour 0 i n.
Soit γ 2 un arc tel que |γ 1 (t) − γ 2 (t)| < ε pour tout t ∈ [0, 1]. On a im γ 2 ⊂ U . Pour
0 i n, posons a i = γ 1 (t i ) et b i = γ 2 (t i ).
Compte tenu de 10.2.4, (i) et (iii), il vient :
γ1
f (z) dz −
γ2
f (z) dz =
n
i=1
[F (a i ) − F (a i−1 )] −
n
i=1
[F (b i ) − F (b i−1 )]
=
n
i=1
[F (a i ) − F (b i )] −
n
i=1
[F (a i−1 ) − F (b i−1 )].
Or, le disque convexe D ai contenant a i , a i−1 , b i , b i−1 , il contient les segments orientés
contenant ces points. D’où :
γ1
f (z) dz −
γ2
f (z) dz =
n
i=1
[bi,ai]
f (z) dz −
n
i=1
[bi−1,ai−1]
f (z) dz
=
[bn,an]
f (z) dz −
[b0,a0]
f (z) dz.
La différence précédente est donc nulle dans les deux cas suivants :
1) γ 1 et γ 2 ont même origine et même extrémité (a 0 = b 0 et a n = b n ).
2) γ 1 et γ 2 sont des lacets (a 0 = a n et b 0 = b n ).
Terminons maintenant la preuve. Soient γ 1 et γ 2 des arcs (respectivement lacets)
homotopes dans U et δ une homotopie dans U de γ 1 à γ 2 . Pour tout ε > 0 donné, il
existe η > 0 tel que, |δ(t, u) − δ(t, u )| < ε pour tout t ∈ [0, 1], dès que |u − u | < η.
Ce qui précède nous montre que l’application
u →
δu
f (z) dz
est localement constante. Elle est donc constante puisque [0, 1] est connexe.
10.4 Formule de Cauchy
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10.4 FORMULE DE CAUCHY
Théorème 10.4.1. (Théorème de Cauchy). Soient U un ouvert de C et γ 1 , γ 2 des
arcs (respectivement des lacets) dans U homotopes dans U . Pour toute fonction f
holomorphe dans U , on a :
γ1
f (z) dz =
γ2
f (z) dz.
Démonstration. Si deux arcs (respectivement lacets) sont homotopes dans U , ils appartiennent à la même composante connexe de U . On peut donc supposer U connexe.
Soit γ 1 un arc dans U . Si U = C, ε est un réel strictement positif. Si U = C, on
pose ε = d(im γ 1 , C\U ). Pour tout t ∈ [0, 1] le disque D t = D
γ 1 (t), ε) est contenu
dans U . Soit η > 0 tel que l’on ait |γ 1 (t) − γ 1 (t )| < ε dès que t, t ∈ [0, 1] vérifient
|t − t | < η. Soit enfin 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n = 1 une subdivision de [0, 1] telle que
|t i − t i+1 | < η pour 0 i n − 1. On sait (6.4.6) que f possède une primitive F i
dans D ti pour 0 i n.
Soit γ 2 un arc tel que |γ 1 (t) − γ 2 (t)| < ε pour tout t ∈ [0, 1]. On a im γ 2 ⊂ U . Pour
0 i n, posons a i = γ 1 (t i ) et b i = γ 2 (t i ).
Compte tenu de 10.2.4, (i) et (iii), il vient :
γ1
f (z) dz −
γ2
f (z) dz =
n
i=1
[F (a i ) − F (a i−1 )] −
n
i=1
[F (b i ) − F (b i−1 )]
=
n
i=1
[F (a i ) − F (b i )] −
n
i=1
[F (a i−1 ) − F (b i−1 )].
Or, le disque convexe D ai contenant a i , a i−1 , b i , b i−1 , il contient les segments orientés
contenant ces points. D’où :
γ1
f (z) dz −
γ2
f (z) dz =
n
i=1
[bi,ai]
f (z) dz −
n
i=1
[bi−1,ai−1]
f (z) dz
=
[bn,an]
f (z) dz −
[b0,a0]
f (z) dz.
La différence précédente est donc nulle dans les deux cas suivants :
1) γ 1 et γ 2 ont même origine et même extrémité (a 0 = b 0 et a n = b n ).
2) γ 1 et γ 2 sont des lacets (a 0 = a n et b 0 = b n ).
Terminons maintenant la preuve. Soient γ 1 et γ 2 des arcs (respectivement lacets)
homotopes dans U et δ une homotopie dans U de γ 1 à γ 2 . Pour tout ε > 0 donné, il
existe η > 0 tel que, |δ(t, u) − δ(t, u )| < ε pour tout t ∈ [0, 1], dès que |u − u | < η.
Ce qui précède nous montre que l’application
u →
δu
f (z) dz
est localement constante. Elle est donc constante puisque [0, 1] est connexe.