134
10 • Homotopie et holomorphie
Proposition 10.3.3. Soient U un ouvert convexe de C et γ un lacet dans U . Si
z ∈ C\U , on a ind γ (z) = 0.
Démonstration. D’après 6.4.7, la fonction ζ → (ζ) =
1
ζ − z
possède une primitive
F dans U . Alors ψ = F ◦γ est une primitive de le long de γ. D’où
2iπ ind γ (z) = ψ(1) − ψ(0) = F ◦γ(1) − F ◦γ(0) = 0
puisque γ(1) = γ(0).
10.3.4. Si γ 1 et γ 2 sont des arcs dans C, on note γ 1 .γ 2 et γ 1 + γ 2 les arcs définis, pour
t ∈ [0, 1], par :
(γ 1 .γ 2 )(t) = γ 1 (t)γ 2 (t) , (γ 1 + γ 2 )(t) = γ 1 (t) + γ 2 (t).
Il est clair que, si 0 /
∈ (im γ 1 ) ∪ (im γ 2 ), alors 0 /
∈ im(γ 1 .γ 2 ). De même, si
|γ 1 (t)| < |γ 2 (t)| pour tout t ∈ [0, 1], on a 0 /
∈ (im γ 2 ) ∪ im(γ 1 + γ 2 ).
Proposition. Soient γ 1 , γ 2 des lacets dans C.
(i) Si 0 /
∈ (im γ 1 ) ∪ (im γ 2 ), alors :
ind γ1.γ2 (0) = ind γ1 (0) + ind γ2 (0).
(ii) Si |γ 1 (t)| < |γ 2 (t)| pour tout t ∈ [0, 1], on a :
ind γ1+γ2 (0) = ind γ2 (0).
Démonstration. (i) Pour j = 1, 2, soit ψ j une primitive de ζ → ζ −1 le long de γ j .
Si t ∈ [0, 1], on a exp
ψ j (t)
= γ j (t), donc exp
ψ 1 (t) + ψ 2 (t)
= γ 1 (t) + γ 2 (t).
Ainsi, ψ 1 + ψ 2 est une primitive de ζ → ζ −1 le long de γ 1 + γ 2 . On conclut d’après
(2).
(ii) Si t ∈ [0, 1], posons γ(t) = 1 + γ 1 (t)[γ 2 (t)] −1 . D’après les hypothèses, il vient
im γ ⊂ D(1, 1), qui est convexe, et ne contient pas 0. D’où ind γ (0) = 0 (10.3.3).
Comme γ 1 + γ 2 = γ.γ 2 , on a le résultat d’après (i).
Proposition 10.3.5. Soit γ un lacet dans C. L’application z → ind γ (z) est constante
sur les composantes connexes de C\ im γ et nulle sur la composante connexe non
bornée de C\ im γ.
Démonstration. Si t ∈ [0, 1] et z ∈ C\ im γ, posons γ
z t) = γ(t) − z. On a ainsi
ind γ (z) = ind γz (0).
Fixons z 0 ∈ U , et soit r = inf{|γ(t) − z 0 | ; t ∈ [0, 1]}. Comme im γ est un compact,
on a r > 0. Soit z ∈ U tel que |z − z 0 | < r. Alors, si t ∈ [0, 1] :
|γ z (t) − γ z0 (t)| = |z − z 0 | < r |γ z0 (t)|.
D’après 10.3.4, (ii), il vient ind γz (0) = ind γz 0 (0), soit ind γ (z) = ind γ (z 0 ). La fonction z → ind γ (z) est localement constante, donc constante sur chaque composante
connexe de U . Le dernier point résulte alors de 10.3.3 puisque im γ est contenu dans
un ouvert connexe D(0, R).
10 • Homotopie et holomorphie
Proposition 10.3.3. Soient U un ouvert convexe de C et γ un lacet dans U . Si
z ∈ C\U , on a ind γ (z) = 0.
Démonstration. D’après 6.4.7, la fonction ζ → (ζ) =
1
ζ − z
possède une primitive
F dans U . Alors ψ = F ◦γ est une primitive de le long de γ. D’où
2iπ ind γ (z) = ψ(1) − ψ(0) = F ◦γ(1) − F ◦γ(0) = 0
puisque γ(1) = γ(0).
10.3.4. Si γ 1 et γ 2 sont des arcs dans C, on note γ 1 .γ 2 et γ 1 + γ 2 les arcs définis, pour
t ∈ [0, 1], par :
(γ 1 .γ 2 )(t) = γ 1 (t)γ 2 (t) , (γ 1 + γ 2 )(t) = γ 1 (t) + γ 2 (t).
Il est clair que, si 0 /
∈ (im γ 1 ) ∪ (im γ 2 ), alors 0 /
∈ im(γ 1 .γ 2 ). De même, si
|γ 1 (t)| < |γ 2 (t)| pour tout t ∈ [0, 1], on a 0 /
∈ (im γ 2 ) ∪ im(γ 1 + γ 2 ).
Proposition. Soient γ 1 , γ 2 des lacets dans C.
(i) Si 0 /
∈ (im γ 1 ) ∪ (im γ 2 ), alors :
ind γ1.γ2 (0) = ind γ1 (0) + ind γ2 (0).
(ii) Si |γ 1 (t)| < |γ 2 (t)| pour tout t ∈ [0, 1], on a :
ind γ1+γ2 (0) = ind γ2 (0).
Démonstration. (i) Pour j = 1, 2, soit ψ j une primitive de ζ → ζ −1 le long de γ j .
Si t ∈ [0, 1], on a exp
ψ j (t)
= γ j (t), donc exp
ψ 1 (t) + ψ 2 (t)
= γ 1 (t) + γ 2 (t).
Ainsi, ψ 1 + ψ 2 est une primitive de ζ → ζ −1 le long de γ 1 + γ 2 . On conclut d’après
(2).
(ii) Si t ∈ [0, 1], posons γ(t) = 1 + γ 1 (t)[γ 2 (t)] −1 . D’après les hypothèses, il vient
im γ ⊂ D(1, 1), qui est convexe, et ne contient pas 0. D’où ind γ (0) = 0 (10.3.3).
Comme γ 1 + γ 2 = γ.γ 2 , on a le résultat d’après (i).
Proposition 10.3.5. Soit γ un lacet dans C. L’application z → ind γ (z) est constante
sur les composantes connexes de C\ im γ et nulle sur la composante connexe non
bornée de C\ im γ.
Démonstration. Si t ∈ [0, 1] et z ∈ C\ im γ, posons γ
z t) = γ(t) − z. On a ainsi
ind γ (z) = ind γz (0).
Fixons z 0 ∈ U , et soit r = inf{|γ(t) − z 0 | ; t ∈ [0, 1]}. Comme im γ est un compact,
on a r > 0. Soit z ∈ U tel que |z − z 0 | < r. Alors, si t ∈ [0, 1] :
|γ z (t) − γ z0 (t)| = |z − z 0 | < r |γ z0 (t)|.
D’après 10.3.4, (ii), il vient ind γz (0) = ind γz 0 (0), soit ind γ (z) = ind γ (z 0 ). La fonction z → ind γ (z) est localement constante, donc constante sur chaque composante
connexe de U . Le dernier point résulte alors de 10.3.3 puisque im γ est contenu dans
un ouvert connexe D(0, R).