© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
10.3 Indice
133
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes, on a ind γ (z) ∈ Z.
Démonstration. Soit ψ une primitive de le long de γ. Localement en t, on a
ψ(t) = F
γ(t)
, où F est une primitive locale de f . Il vient :
(ζ)e
F (ζ)
=
−
2 (ζ) +
2 (ζ)
e
F (ζ) = 0.
L’ouvert C\{z} étant connexe, il existe c ∈ C ∗ tel que e F (ζ) = c(ζ − z). On en
déduit que la fonction continue t → e ψ(t)
ψ(t) − z
est localement constante, donc
constante puisque [0, 1] est connexe. On a ainsi, pour tout t ∈ [0, 1] :
e
ψ(t) = c
γ(t) − z
.
(1)
Comme γ est fermé, on a e ψ(1) = c
γ(1) − z
= c
γ(0) − z
= e ψ(0) . Il résulte alors
de 3.7.6 que ψ(1) − ψ(0) ∈ 2iπZ. D’autre part, par définition de l’indice et, d’après
10.2.3 :
2iπ ind γ (z) = ψ(1) − ψ(0).
(2)
D’où ind γ (z) ∈ Z.
10.3.2. Conservons hypothèses et notations de 10.3.1 et de la preuve précédente. On
appelle détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ toute application
continue θ : [0, 1] → R telle que, pour tout t ∈ [0, 1], θ(t) soit un argument de γ(t)−z
(voir 5.3.1).
Soit µ ∈ C vérifiant e µ = c. L’identité (1) s’écrit :
e
ψ(t)−µ = γ(t) − z.
(3)
Si θ(t) = Im
γ(t) − µ), alors θ est continue sur [0, 1] et, il résulte de (3) que, si
t ∈ [0, 1] :
ψ(t) = ln |γ(t) − z| + iθ(t) + µ.
(4)
Ainsi, t → θ(t) est une détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ.
D’après (2) et (4), on a alors :
2π ind γ (z) = θ(1) − θ(0).
(5)
Réciproquement, soit t → θ(t) une détermination continue de l’argument de ζ − z le
long de γ. Pour t ∈ [0, 1], posons :
ψ(t) = ln |γ(t) − z| + iθ(t).
On a e ψ(t) = γ(t)−z pour tout t ∈ [0, 1]. Si l’on note (voir 5.3.5 et 5.37) log(ζ−z) une
détermination locale du logarithme (comme fonction de ζ), alors ψ(t)−log
γ(t)−z
est localement constante. Comme ζ → log(ζ − z) est localement une primitive de ,
on voit que ψ est une primitive de le long de γ. Par conséquent, la formule (5) est
vraie. On en déduit que le calcul de l’indice d’un lacet en un point est possible dès que
l’on connait une détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ.
10.3 Indice
133
Proposition. Avec les hypothèses et notations précédentes, on a ind γ (z) ∈ Z.
Démonstration. Soit ψ une primitive de le long de γ. Localement en t, on a
ψ(t) = F
γ(t)
, où F est une primitive locale de f . Il vient :
(ζ)e
F (ζ)
=
−
2 (ζ) +
2 (ζ)
e
F (ζ) = 0.
L’ouvert C\{z} étant connexe, il existe c ∈ C ∗ tel que e F (ζ) = c(ζ − z). On en
déduit que la fonction continue t → e ψ(t)
ψ(t) − z
est localement constante, donc
constante puisque [0, 1] est connexe. On a ainsi, pour tout t ∈ [0, 1] :
e
ψ(t) = c
γ(t) − z
.
(1)
Comme γ est fermé, on a e ψ(1) = c
γ(1) − z
= c
γ(0) − z
= e ψ(0) . Il résulte alors
de 3.7.6 que ψ(1) − ψ(0) ∈ 2iπZ. D’autre part, par définition de l’indice et, d’après
10.2.3 :
2iπ ind γ (z) = ψ(1) − ψ(0).
(2)
D’où ind γ (z) ∈ Z.
10.3.2. Conservons hypothèses et notations de 10.3.1 et de la preuve précédente. On
appelle détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ toute application
continue θ : [0, 1] → R telle que, pour tout t ∈ [0, 1], θ(t) soit un argument de γ(t)−z
(voir 5.3.1).
Soit µ ∈ C vérifiant e µ = c. L’identité (1) s’écrit :
e
ψ(t)−µ = γ(t) − z.
(3)
Si θ(t) = Im
γ(t) − µ), alors θ est continue sur [0, 1] et, il résulte de (3) que, si
t ∈ [0, 1] :
ψ(t) = ln |γ(t) − z| + iθ(t) + µ.
(4)
Ainsi, t → θ(t) est une détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ.
D’après (2) et (4), on a alors :
2π ind γ (z) = θ(1) − θ(0).
(5)
Réciproquement, soit t → θ(t) une détermination continue de l’argument de ζ − z le
long de γ. Pour t ∈ [0, 1], posons :
ψ(t) = ln |γ(t) − z| + iθ(t).
On a e ψ(t) = γ(t)−z pour tout t ∈ [0, 1]. Si l’on note (voir 5.3.5 et 5.37) log(ζ−z) une
détermination locale du logarithme (comme fonction de ζ), alors ψ(t)−log
γ(t)−z
est localement constante. Comme ζ → log(ζ − z) est localement une primitive de ,
on voit que ψ est une primitive de le long de γ. Par conséquent, la formule (5) est
vraie. On en déduit que le calcul de l’indice d’un lacet en un point est possible dès que
l’on connait une détermination continue de l’argument de ζ − z le long de γ.