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10 • Homotopie et holomorphie
pour t ∈ I . On en déduit le premier point. Comme h est croissant, on a h(0) = 0 et
h(1) = 1. D’où le second point par définition de l’intégrale de f le long de γ.
(ii) Soient ψ et F relatifs à γ comme précédemment. On a ψ(t) = F ◦γ(t) localement,
donc ψ(t) = F ◦γ 1 (2t) si 0 t
1
2
et ψ(t) = F ◦γ 2 (2t − 1) si
1
2
t 1 (voir
10.1.1). Comme
γ
f (z) dz =
ψ(1) − ψ
1
2
+
ψ
1
2
− ψ(0
,
et que t → 2t (respectivement t → 2t − 1) est un homéomorphisme croissant de
0,
1
2
(respectivement
1
2
, 1
) sur [0, 1], on déduit (iii) de (ii) (où (ii) est trivialement
modifié en tenant compte de la remarque 2 qui suit 10.2.3).
Théorème 10.2.5. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) f admet des primitives dans U .
(ii)
γ
f (z) dz = 0 pour tout lacet γ dans U .
(iii)
γ
f (z) dz = 0 pour tout chemin fermé γ dans U .
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) résulte de 10.2.4, et (ii) ⇒ (iii) est claire.
Supposons (iii) vérifié, et prouvons (i). Comme l’image d’un lacet est connexe, en
raisonnant dans les composantes connexes de U , on peut supposer U connexe. Si γ est
un arc dans U , on note I(γ) =
γ
f (z) dz.
Soit a ∈ U . Si w ∈ U , il existe des chemins polygonaux allant de a à w (6.1.6).
Soient γ 1 et γ 2 deux tels chemins. Si l’on note ε 2 le chemin opposé à γ 2 , il résulte de
l’hypothèse, de 6.2.3, et de 10.2.2 que 0 = I(γ 1 ∨ ε 2 ) = I(γ 1 ) − I(γ 2 ).
On a donc I(γ 1 ) = I(γ 2 ). On peut donc définir une application F : U → C en posant
F (w) = I(γ), où est un chemin polygonal quelconque allant de a à w. La même
preuve qu’en 6.4.1 montre alors que F est une primitive de f dans U .
10.3 INDICE
10.3.1. Soient U un ouvert de C, γ un lacet dans U , et z ∈ C\ im γ.
La fonction : C\{z} → C, ζ →
1
ζ − z
étant holomorphe, il résulte de 10.2.3 que
l’on peut définir le symbole
1
2iπ
γ
dζ
ζ − z
·
On le note encore ind γ (z), et on dit encore que c’est l’indice de z par rapport à γ.