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10.2 Primitive le long d’un arc
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Soient ψ et ϕ des primitives de f le long de γ. Alors, ψ − ϕ est localement constante
sur [0, 1], donc constante puisque [0, 1] est connexe. On a prouvé (i).
Supposons que γ soit un chemin, et soit ψ une primitive de f le long de γ. De
ψ(t) = G i
γ(t)
sur [t i , t i+1 ], on déduit que ψ est de classe C 1 par morceaux et
que ψ (t) = γ (t)f
γ(t)
si t est distinct des t i . D’après 6.2.1, il vient :
γ
f (z) dz =
1
0
ψ
(t) dt = ψ(1) − ψ(0).
On a démontré le théorème.
10.2.3. Le résultat de 10.2.2 légitime la définition suivante :
Définition. Soient U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ un arc dans U . On définit
l’intégrale de f le long de γ par
γ
f (z) dz = ψ(1) − ψ(0),
où ψ est une primitive de f le long de γ.
Remarques. 1) D’après 6.2.2 et de 10.2.2, le symbole
γ
f (z) dz est défini
d’une part quand f est continue et que γ est un chemin, d’autre part quand f
est holomorphe et que γ est un arc.
2) Si l’on considère un arc γ défini sur un intervalle [x, y] la définition d’une
primitive de f le long de γ est trivialement modifiée, et l’intégrale de f le long
de γ est ψ(y) − ψ(x).
Proposition 10.2.4. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ).
(i) Si f admet une primitive F dans U , pour tout arc γ dans U , on a :
γ
f (z) dz = F ◦γ(1) − F ◦γ(0).
(ii) Soient h un homéomorphisme croissant de [0, 1] sur lui-même et ψ une primitive
de f le long de γ. Alors ψ◦h est une primitive de f le long de γ◦h et :
γ◦h
f (z) dz =
γ
f (z) dz.
(iii) Soient γ 1 , γ 2 des arcs dans U vérifiant γ 1 (1) = γ 2 (0) et γ = γ 1 ∨ γ 2 . Alors :
γ
f (z) dz =
γ1
f (z) dz +
γ2
f (z) dz.
Démonstration. (i) Il est clair que ψ = F ◦γ est une primitive de f le long de γ.
(ii) Si t ∈ [0, 1], il existe un voisinage I de t dans [0, 1], un voisinage W de γ(t) dans
U et une primitive F de f dans W tels que ψ(t) = F ◦γ(t) pour tout t ∈ I. Par suite,
si t ∈ [0, 1], il existe un voisinage I de t dans [0, 1] tel que ψ◦h(t) = F [γ◦h(t)]