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10 • Homotopie et holomorphie
Proposition 10.1.10. Si U est étoilé en un de ses points, il est simplement connexe.
Démonstration. Si U est étoilé en un de ses points a, il est connexe par arcs donc
connexe. Soit γ un lacet dans U . L’application (t, u) → ua + (1 − u)γ(t) est une
homotopie de γ au lacet constant a.
10.2 PRIMITIVE LE LONG D’UN ARC
Définition 10.2.1. Soient U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ un arc dans U . On
appelle primitive de f le long de γ toute application continue ψ : [0, 1] → C telle que,
pour tout t 0 ∈ [0, 1], il existe un voisinage I 0 de t 0 dans [0, 1] et une primitive F t0 de
f définie dans un voisinage W 0 ⊂ U de γ(t 0 ), tels que γ(I 0 ) ⊂ W 0 et
ψ(t) = F t0
γ(t)
pour tout t ∈ I 0 .
Théorème 10.2.2. Soient U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ un arc dans U .
(i) Il existe des primitives de f le long de γ. La différence de deux telles primitives
est constante.
(ii) Si γ est un chemin dans U et si ψ est une primitive de f le long de U , on a :
γ
f (z) dz = ψ(1) − ψ(0).
Démonstration. Si U = C, ε est un réel strictement positif. Si U = C, on pose :
ε = d(im γ, C\U ) = inf{|z − γ(t)| ; z ∈ C\U, t ∈ [0, 1]} > 0.
Si t ∈ [0, 1], on pose D t = D
γ(t), ε
. On a ainsi D t ⊂ U et, d’après 6.4.6, f possède
une primitive F t dans D t .
L’application γ étant continue sur [0, 1] y est uniformément continue. Il existe donc
η > 0 tel que |γ(t) − γ(t )| < ε dès que t, t ∈ [0, 1] vérifient |t − t | < ε. Soit
une subdivision 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n = 1 de [0, 1] telle que |t i − t i+1 | < η si
0 i n − 1. On a donc γ([t i , t i+1 ]) ⊂ D ti ∩ D ti+1 si 0 i n − 1. En particulier,
D i ∩ D i+1 est un ouvert convexe non vide. Notons F i une primitive de f dans D ti .
Posons G 0 = F 0 . Sur D t0 ∩ D t1 , F 0 − F 1 est constante (4.2.1). Il existe donc 1 ∈ C
tel que G 1 = F 1 − 1 vérifie G 0 |D t0 ∩ D t1 = G 1 |D 0 ∩ D 1 .
Supposons construites des primitives G k de f sur D tk pour 0 k i, et telles que
G k−1 |D tk−1 ∩ D tk = G k |D tk−1 ∩ D tk si 1 k i.
Sur D ti ∩ D ti+1 , F i − F i+1 est constante, égale à i+1 . On pose G i+1 = F i+1 − i+1 .
On a donc déterminé des primitives G i sur D ti de la fonction f qui vérifient
G i |D ti ∩ D ti+1 = G i+1 |D ti ∩ D ti+1 pour 0 i n − 1.
D’après cette construction on peut définir ψ : [0, 1] → C en convenant que
ψ(t) = G i
γ(t)
si t i t t i+1 , et on obtient ainsi une fonction continue. Il
est alors clair que ψ est une primitive de f le long de γ.
10 • Homotopie et holomorphie
Proposition 10.1.10. Si U est étoilé en un de ses points, il est simplement connexe.
Démonstration. Si U est étoilé en un de ses points a, il est connexe par arcs donc
connexe. Soit γ un lacet dans U . L’application (t, u) → ua + (1 − u)γ(t) est une
homotopie de γ au lacet constant a.
10.2 PRIMITIVE LE LONG D’UN ARC
Définition 10.2.1. Soient U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ un arc dans U . On
appelle primitive de f le long de γ toute application continue ψ : [0, 1] → C telle que,
pour tout t 0 ∈ [0, 1], il existe un voisinage I 0 de t 0 dans [0, 1] et une primitive F t0 de
f définie dans un voisinage W 0 ⊂ U de γ(t 0 ), tels que γ(I 0 ) ⊂ W 0 et
ψ(t) = F t0
γ(t)
pour tout t ∈ I 0 .
Théorème 10.2.2. Soient U un ouvert de C, f ∈ H(U ), et γ un arc dans U .
(i) Il existe des primitives de f le long de γ. La différence de deux telles primitives
est constante.
(ii) Si γ est un chemin dans U et si ψ est une primitive de f le long de U , on a :
γ
f (z) dz = ψ(1) − ψ(0).
Démonstration. Si U = C, ε est un réel strictement positif. Si U = C, on pose :
ε = d(im γ, C\U ) = inf{|z − γ(t)| ; z ∈ C\U, t ∈ [0, 1]} > 0.
Si t ∈ [0, 1], on pose D t = D
γ(t), ε
. On a ainsi D t ⊂ U et, d’après 6.4.6, f possède
une primitive F t dans D t .
L’application γ étant continue sur [0, 1] y est uniformément continue. Il existe donc
η > 0 tel que |γ(t) − γ(t )| < ε dès que t, t ∈ [0, 1] vérifient |t − t | < ε. Soit
une subdivision 0 = t 0 < t 1 < · · · < t n = 1 de [0, 1] telle que |t i − t i+1 | < η si
0 i n − 1. On a donc γ([t i , t i+1 ]) ⊂ D ti ∩ D ti+1 si 0 i n − 1. En particulier,
D i ∩ D i+1 est un ouvert convexe non vide. Notons F i une primitive de f dans D ti .
Posons G 0 = F 0 . Sur D t0 ∩ D t1 , F 0 − F 1 est constante (4.2.1). Il existe donc 1 ∈ C
tel que G 1 = F 1 − 1 vérifie G 0 |D t0 ∩ D t1 = G 1 |D 0 ∩ D 1 .
Supposons construites des primitives G k de f sur D tk pour 0 k i, et telles que
G k−1 |D tk−1 ∩ D tk = G k |D tk−1 ∩ D tk si 1 k i.
Sur D ti ∩ D ti+1 , F i − F i+1 est constante, égale à i+1 . On pose G i+1 = F i+1 − i+1 .
On a donc déterminé des primitives G i sur D ti de la fonction f qui vérifient
G i |D ti ∩ D ti+1 = G i+1 |D ti ∩ D ti+1 pour 0 i n − 1.
D’après cette construction on peut définir ψ : [0, 1] → C en convenant que
ψ(t) = G i
γ(t)
si t i t t i+1 , et on obtient ainsi une fonction continue. Il
est alors clair que ψ est une primitive de f le long de γ.