© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
10.1 Homotopie et simple connexité
129
Démonstration. (i) ⇔ (ii) Soit γ 1 un arc dans U allant de a à d. Comme U est connexe
par arcs (6.1.6), il existe un arc γ 2 dans U allant de b à d. Pour 0 u 1, considérons
les arcs δ u définis par :
δ u (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
γ 1
3t
3 − 2u
si 0 t 1 −
2u
3
,
γ 2 [2(2 − u) − 2t] si 1 −
2u
3
t 1 −
u
3
,
γ 2 (3t − 2) si 1 −
u
3
t 1.
Si (i) est vérifié, on voit facilement que γ 1 est homotope à δ 1 . Ainsi, tous les arcs allant
de a à d sont homotopes. On obtient (i) ⇒ (ii) en procédant de manière analogue avec
c. On a alors l’équivalence de (i) et (ii) vu l’arbitraire de a, b, c, d.
(i) ⇒ (iii) Soit γ un lacet. Alors a = γ(0) est l’origine et l’extrémité de γ. Comme
(i) et (ii) sont équivalents, en prenant c = d = a dans (ii), on voit que, comme arc, γ
est homotope à l’arc constant a. L’ouvert U étant connexe, tous les lacets dans U sont
homotopes. D’où (iii).
(iii) ⇒ (i) Compte tenu de (i) ⇔ (ii), il suffit de prouver que tous les arcs fermés
d’origine a ∈ U sont homotopes avec extrémités fixes.
Soient γ un arc fermé d’origine a, et b ∈ U . Les lacets dans U étant homotopes, il
existe une homotopie δ du lacet γ au lacet constant b.
Définissons δ 1 : [0, 1] × [0, 1] → U par :
δ 1 (t, u) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
δ(0, 3t) si 0 t
u
3
,
δ
3t − u
3 − 2u
si
u
3
t 1 −
u
3
,
δ
0, 3(1 − t)
si 1 −
u
3
t 1.
Posons :
γ 1 (t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
δ(0, 3t) si 0 t
1
3
,
b si
1
3
t
2
3
,
δ
0, 3(1 − t)
si
2
3
t 1.
Alors t → γ 1 (t) est un arc dans U allant de a à a, et δ 1 est une homotopie de l’arc γ à
l’arc γ 1 .
Définissons alors δ 2 : [01] × [0, 1] → C par :
δ 2 (t, u)γ 1 (tu) si 0 t
1
2
, δ 2 (t, u) = γ 1
(1 − t)u
si
1
2
t 1.
Comme γ 1 (t) = δ 2 (t, 1), on voit que δ 2 est une homotopie de l’arc γ 1 (allant de a à
a) à l’arc constant. Par suite, l’arc γ et l’arc constant a sont homotopes.