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10 • Homotopie et holomorphie
L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, r) →
ur 2 + (1 − u)r 1
e 2iπt est une homotopie
du lacet γ 1 au lacet γ 2 .
2) Soit γ un arc dans l’ouvert U de C, d’origine a. Composons l’arc constant a avec
γ. On obtient un arc γ 1 . L’application δ définie par
δ(t, u) = a si 0 t
u
2
et δ(t, u) = γ
2t − u
2 − u
si
u
2
t 1
est une homotopie de l’arc γ 1 à l’arc γ.
Proposition 10.1.7. L’homotopie est une relation d’équivalence.
Démonstration. Envisageons, par exemple, le cas de l’homotopie entre arcs allant
de a à b. La réflexivité et la symétrie sont évidentes. Prouvons la transitivité. Soient
γ 1 , γ 2 , γ 3 des arcs allant de a à b, et δ (respectivement ε) une homotopie de γ 1 à γ 2
(respectivement de γ 2 à γ 3 ). Définissons ϕ : [0, 1] × [0, 1] → U par :
ϕ(t, u) = δ(t, 2u) si 0 u
1
2
et ϕ(t, u) = ε(t, 2u − 1) si
1
2
u 1.
Alors ϕ est une homotopie de γ 1 à γ 3 .
Proposition 10.1.8. Soient U un ouvert de C et γ 0 un arc dans U allant de a à b
(respectivement un lacet dans U ). Soit d > 0 la distance de im γ 0 à C\U si U = C,
et d > 0 quelconque si U = C.
(i) Tout arc (respectivement lacet) γ 1 dans U tel que sup{|γ 1 (t)−γ 2 (t)| ; t ∈ [0, 1]} < d
et allant de a à b, est homotope à γ 1 dans U .
(ii) Soit p ∈ N ∗ tel que, pour tous t, t ∈ [0, 1] vérifiant |t − t |
1
p
on ait
|γ 1 (t) − γ 1 (t )| < d. L’application γ 1 : [0, 1] → U dont la restriction à chaque
intervalle
k − 1
p
,
k
p
, 1 k p, est affine et qui prend la même valeur que γ 1
aux bornes de ces intervalles est un arc (polygonal) homotope à γ 1 dans U .
Démonstration. (i) Posons δ(t, u) = (1 − u)γ 1 (t) + uγ 2 (t) pour 0 t, u 1.
D’après les hypothèses, on a δ(t, u) ∈ U . Il est alors clair que δ est une homotopie de
γ 1 à γ 2 .
(ii) Compte tenu de (i), il suffit de vérifier que im γ 2 ⊂ U , ce qui est immédiat.
Théorème 10.1.9. Soient U un ouvert connexe de C et a, b, c, d ∈ U . Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Tous les arcs dans U allant de a à b sont homotopes dans U .
(ii) Tous les arcs dans U allant de c à d sont homotopes dans U .
(iii) Tous les lacets dans U sont homotopes dans U .
Si ces conditions sont réalisées, on dit que l’ouvert U est simplement connexe.
10 • Homotopie et holomorphie
L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, r) →
ur 2 + (1 − u)r 1
e 2iπt est une homotopie
du lacet γ 1 au lacet γ 2 .
2) Soit γ un arc dans l’ouvert U de C, d’origine a. Composons l’arc constant a avec
γ. On obtient un arc γ 1 . L’application δ définie par
δ(t, u) = a si 0 t
u
2
et δ(t, u) = γ
2t − u
2 − u
si
u
2
t 1
est une homotopie de l’arc γ 1 à l’arc γ.
Proposition 10.1.7. L’homotopie est une relation d’équivalence.
Démonstration. Envisageons, par exemple, le cas de l’homotopie entre arcs allant
de a à b. La réflexivité et la symétrie sont évidentes. Prouvons la transitivité. Soient
γ 1 , γ 2 , γ 3 des arcs allant de a à b, et δ (respectivement ε) une homotopie de γ 1 à γ 2
(respectivement de γ 2 à γ 3 ). Définissons ϕ : [0, 1] × [0, 1] → U par :
ϕ(t, u) = δ(t, 2u) si 0 u
1
2
et ϕ(t, u) = ε(t, 2u − 1) si
1
2
u 1.
Alors ϕ est une homotopie de γ 1 à γ 3 .
Proposition 10.1.8. Soient U un ouvert de C et γ 0 un arc dans U allant de a à b
(respectivement un lacet dans U ). Soit d > 0 la distance de im γ 0 à C\U si U = C,
et d > 0 quelconque si U = C.
(i) Tout arc (respectivement lacet) γ 1 dans U tel que sup{|γ 1 (t)−γ 2 (t)| ; t ∈ [0, 1]} < d
et allant de a à b, est homotope à γ 1 dans U .
(ii) Soit p ∈ N ∗ tel que, pour tous t, t ∈ [0, 1] vérifiant |t − t |
1
p
on ait
|γ 1 (t) − γ 1 (t )| < d. L’application γ 1 : [0, 1] → U dont la restriction à chaque
intervalle
k − 1
p
,
k
p
, 1 k p, est affine et qui prend la même valeur que γ 1
aux bornes de ces intervalles est un arc (polygonal) homotope à γ 1 dans U .
Démonstration. (i) Posons δ(t, u) = (1 − u)γ 1 (t) + uγ 2 (t) pour 0 t, u 1.
D’après les hypothèses, on a δ(t, u) ∈ U . Il est alors clair que δ est une homotopie de
γ 1 à γ 2 .
(ii) Compte tenu de (i), il suffit de vérifier que im γ 2 ⊂ U , ce qui est immédiat.
Théorème 10.1.9. Soient U un ouvert connexe de C et a, b, c, d ∈ U . Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Tous les arcs dans U allant de a à b sont homotopes dans U .
(ii) Tous les arcs dans U allant de c à d sont homotopes dans U .
(iii) Tous les lacets dans U sont homotopes dans U .
Si ces conditions sont réalisées, on dit que l’ouvert U est simplement connexe.