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10.1 Homotopie et simple connexité
127
Définition 10.1.2. Soient U un ouvert de C et γ 1 , γ 2 des arcs dans U . On appelle déformation de γ 1 à γ 2 toute application continue δ : [0, 1]×[0, 1] → U , (t, u) → δ(t, u)
vérifiant
δ(t, 0) = γ 1 (t) , δ(t, 1) = γ 2 (t)
pour tout t ∈ [0, 1].
10.1.3. Soient γ 1 , γ 2 des arcs dans U et δ une déformation de γ 1 à γ 2 .
• Dans la suite, on notera δ u l’arc [0, 1] → U , t → δ(t, u).
• L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, u) → γ 1 (t) est une déformation de γ 1 à γ 1 .
• Posons δ 1 (t, u) = δ(1 − t, u). Alors δ 1 est une déformation de γ 2 à γ 1 .
• Soient γ 3 un arc dans U et ε une déformation de γ 2 à γ 3 . Définissons une application
ϕ : [0, 1] × [0, 1] → U par
ϕ(t, u) = δ(t, 2u) si 0 u
1
2
et ϕ(t, u) = ε(t, 2u − 1) si
1
2
< u 1.
On vérifie facilement que ϕ est une déformation de γ 1 à γ 3 .
10.1.4. Soient U un ouvert de C et γ un arc dans U , allant de a à b.
• L’application [0, 1] × [0, 1] →, (t, u) → γ(u) est une déformation de l’arc constant
a à l’arc constant b.
• L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, u) → γ(tu) est une déformation de l’arc
constant a à γ.
On déduit de ces deux exemples que, si U est connexe (donc connexe par arcs), deux
arcs quelconques dans U se déduisent l’un de l’autre par une déformation. On va ainsi
être amené à introduire des restrictions pour obtenir des résultats non triviaux.
Définition 10.1.5. Soit U un ouvert de C.
(i) Deux arcs γ 1 , γ 2 dans U , ayant même origine a et même extrémité b sont dits
homotopes dans U s’il existe une déformation δ de γ 1 à γ 2 telle que δ(0, u) = a
et δ(1, u) = b pour tout u ∈ [0, 1]. S’il en est ainsi, on dit que δ est une homotopie
de γ 1 à γ 2 .
(ii) Deux lacets γ 1 , γ 2 dans U sont dits homotopes dans U s’il existe une déformation
δ de γ 1 à γ 2 vérifiant δ(0, u) = δ(1, u) pour tout u ∈ [0, 1]. S’il en est ainsi, on
dit que δ est une homotopie de γ 1 à γ 2 .
Remarque. L’homotopie entre les arcs est une déformation « à extrémités
fixes ». Ce n’est pas le cas de l’homotopie entre les lacets.
10.1.6. Donnons deux exemples.
1) Soient U = C ∗ , r 1 , r 2 ∈ R ∗
+ et γ 1 , γ 2 les lacets dans U définis, pour 0 t 1
par :
γ 1 (t) = r 1 e
2iπt , γ 2 (t) = r 2 e
2iπt .
10.1 Homotopie et simple connexité
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Définition 10.1.2. Soient U un ouvert de C et γ 1 , γ 2 des arcs dans U . On appelle déformation de γ 1 à γ 2 toute application continue δ : [0, 1]×[0, 1] → U , (t, u) → δ(t, u)
vérifiant
δ(t, 0) = γ 1 (t) , δ(t, 1) = γ 2 (t)
pour tout t ∈ [0, 1].
10.1.3. Soient γ 1 , γ 2 des arcs dans U et δ une déformation de γ 1 à γ 2 .
• Dans la suite, on notera δ u l’arc [0, 1] → U , t → δ(t, u).
• L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, u) → γ 1 (t) est une déformation de γ 1 à γ 1 .
• Posons δ 1 (t, u) = δ(1 − t, u). Alors δ 1 est une déformation de γ 2 à γ 1 .
• Soient γ 3 un arc dans U et ε une déformation de γ 2 à γ 3 . Définissons une application
ϕ : [0, 1] × [0, 1] → U par
ϕ(t, u) = δ(t, 2u) si 0 u
1
2
et ϕ(t, u) = ε(t, 2u − 1) si
1
2
< u 1.
On vérifie facilement que ϕ est une déformation de γ 1 à γ 3 .
10.1.4. Soient U un ouvert de C et γ un arc dans U , allant de a à b.
• L’application [0, 1] × [0, 1] →, (t, u) → γ(u) est une déformation de l’arc constant
a à l’arc constant b.
• L’application [0, 1] × [0, 1] → U , (t, u) → γ(tu) est une déformation de l’arc
constant a à γ.
On déduit de ces deux exemples que, si U est connexe (donc connexe par arcs), deux
arcs quelconques dans U se déduisent l’un de l’autre par une déformation. On va ainsi
être amené à introduire des restrictions pour obtenir des résultats non triviaux.
Définition 10.1.5. Soit U un ouvert de C.
(i) Deux arcs γ 1 , γ 2 dans U , ayant même origine a et même extrémité b sont dits
homotopes dans U s’il existe une déformation δ de γ 1 à γ 2 telle que δ(0, u) = a
et δ(1, u) = b pour tout u ∈ [0, 1]. S’il en est ainsi, on dit que δ est une homotopie
de γ 1 à γ 2 .
(ii) Deux lacets γ 1 , γ 2 dans U sont dits homotopes dans U s’il existe une déformation
δ de γ 1 à γ 2 vérifiant δ(0, u) = δ(1, u) pour tout u ∈ [0, 1]. S’il en est ainsi, on
dit que δ est une homotopie de γ 1 à γ 2 .
Remarque. L’homotopie entre les arcs est une déformation « à extrémités
fixes ». Ce n’est pas le cas de l’homotopie entre les lacets.
10.1.6. Donnons deux exemples.
1) Soient U = C ∗ , r 1 , r 2 ∈ R ∗
+ et γ 1 , γ 2 les lacets dans U définis, pour 0 t 1
par :
γ 1 (t) = r 1 e
2iπt , γ 2 (t) = r 2 e
2iπt .