Chapitre 10
Homotopie et holomorphie
L’un des objectifs de ce chapitre est de généraliser plusieurs des résultats
obtenus prédemment : théorème des résidus, théorème de l’indice et théorème
de Rouché.
10.1 HOMOTOPIE ET SIMPLE CONNEXITÉ
10.1.1. Soit U un ouvert de C. Rappelons (6.1.1) qu’un arc dans U est une application
continue γ d’un intervalle compact [x, y] de R à valeurs dans U . On a convenu de
le noter ([x, y], γ). On dira que γ est un lacet si c’est un arc fermé, c’est-à-dire si
γ(x) = γ(y).
Soient a, b ∈ C. Nous dirons qu’un arc ([x, y], γ) va de a à b si γ(x) = a et γ(y) = b.
Soit ([x, y], γ) un arc. On définit un arc ([0, 1], δ) par δ(t) = γ
(1 − t)x + ty
pour
t ∈ [0, 1]. Il est immédiat que im γ = im δ, γ(x) = δ(0), et γ(y) = δ(1). On voit donc
que pratiquement, il n’y a aucun inconvénient à supposer que l’intervalle de définition
de tous les arcs considérés est [0, 1]. Cela sera systématiquement fait dans ce chapitre
et, on modifie alors, de manière évidente, les définitions déjà données concernant les
arcs. Par exemple, si γ 1 et γ 2 sont deux arcs tels que γ 1 (1) = γ 2 (0), on définit l’arc
composé γ = γ 1 ∨ γ 2 (voir 6.1.2) par :
γ(t) = γ 1 (2t) si 0 t
1
2
et γ(t) = γ 2 (2t − 1) si
1
2
t 1.