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12 • Représentation conformes
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 12.1. Soient K un compact de U et (f n ) n une suite dans H(U ) convergeant
uniformément sur tout compact de U vers f ∈ H(U ). Si z ∈ U et n ∈ N, on a :
exp
f n (z)
− exp
f (z)
= exp
f (z)
∞
p=1
f n (z) − f (z)
p
p!
·
On en déduit :
exp f n − exp f K exp f K
exp(f n − f K ) − 1
.
Par suite, exp f n converge uniformément vers exp f sur K. Compte tenu de la définition de la topologie sur H(U ), on a obtenu le résultat.
Exercice 12.2. a) Soient a, b ∈ U . Comme U est convexe, on a a + t(b − a) ∈ U
pour tout t ∈ [0, 1]. On peut alors appliquer l’inégalité des accroissements finis à la
fonction : [0, 1] → C, t → g[a + t(b − a)]. On a alors :
|(1) − (0)| sup{|
(t)| ; t ∈ [0, 1]}.
Comme (t) = (b − a)g [a + t(b − a)], on en déduit aussitôt le résultat demandé.
b) Soient ρ ∈ ]|z|, 1[ et γ le cercle C(0, ρ) parcouru dans le sens direct. On a :
f
(z) =
1
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − z) 2 dζ.
Par suite :
|f
(z)|
1
2π
2πρ sup
f (ζ)
|ζ − z| 2 ; |ζ| = ρ
ρ
(ρ − |z|) 2 ·
On obtient donc le premier point en faisant tendre ρ vers 1. Le second s’en déduit
immédiatement.
c) Soient ε > 0 et a ∈ D(0, 1). Il existe N a ∈ N tel que |f n (a) − f (a)| ε/3
si n N a . D’autre part, f étant continue au point a, il existe ρ > 0 tel que
D (a, ρ) ⊂ D(0, 1) et |f (a) − f (z)| ε/3 si |z − a| < ρ.
Il résulte aussi de a) que, si z ∈ D(a, ρ), on a :
|f n (z) − f n (a)| |z − a| sup{|f
(ζ)| ; |ζ − a| < ρ}.
Soit r ∈ ]0, 1[ tel que D(a, ρ) ⊂ D(0, 1 − r). Compte tenu de b), pour tout n ∈ N et
tout ζ ∈ D(a, ρ), on a |f (ζ)| r −2 . On en déduit :
|z − a| < ρ ⇒ |f n (z) − f n (a)|
|z − a|
r 2 ·
Par suite, il existe η a < ρ tel que l’on ait |f n (a) − f n (a)| ε/3 si |z − a| < η. On
obtient donc :
n N a , |z − a| < η ⇒ |f n (z) − f (z)| ε.