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Exercices
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EXERCICES
Exercice 9.1. Prouver que le produit infini
f (z) =
∞
n=0
1 + z
2
n
converge normalement sur tout compact de D(0, 1) et que
f (z) =
1
1 − z
pour tout z ∈ D(0, 1).
Exercice 9.2. On pose D = D(0, 1) et C = {z ∈ C ; |z| = 1}.
On définit une suite (f n ) n d’éléments de M(C) par :
f 0 (z) = z , f(z) = f 1 (z) =
z(1 − 2z)
2 − z
, f n+1 = f 1 ◦f n .
a) Prouver que f (C) ⊂ Cet que f (D) ⊂ D.
b) Montrer que, si w ∈ D, l’équation f (z) = w a deux racines appartenant à D.
Prouver que ces racines sont distinctes, sauf pour une valeur de w à préciser.
c) Si z ∈ D, établir :
2
f (z)
z
− 1
3|z|.
d) Pour 0 < r 1, calculer :
(∗)
ϕ(r) = sup
f (z)
z
; |z| = r
En déduire que, si z ∈ D, on a :
(∗∗)
|f n (z)| |z|
1 + 2|z|
1 + |z|
n
.
e) En utilisant la question précédente montrer que le produit infini
∞
n=1
2f n (z)
f n−1 (z)
est normalement convergent sur tout compact de D.
f) Montrer que la suite (2 n f n ) n converge uniformément sur tout compact de D. Si g
est la limite de cette suite, prouver que 2g◦f = g. Calculer g(0) et g (0).