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9 • Produits infinis
Par suite, dans V :
f
f
=
f
0
f 0
+ · · · +
f
N
f N
+
g
N
g N
·
D’autre part, dans V , la série
nN +1 Log f n converge uniformément. On peut donc
la dériver terme à terme, et la série des dérivées
nN +1 (f
n /f n ) converge uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de V (7.4.3). D’où, dans V :
g
N
g N
=
∞
n=N +1
Log f n
=
∞
n=N +1
f
n
f n
·
On a obtenu le résultat d’après ce qui précède.
9.2.7. Posons f 0 (z) = z et f n (z) = 1 −
z 2
n 2 si n 1. Comme la série de terme
général z 2 /n 2 converge normalement sur tout compact, le produit infini
f n converge
normalement sur tout compact de C. Posons :
f (z) = z
∞
n=1
1 −
z 2
n 2
=
∞
n=0
f n (z).
D’après 8.8.7 et 9.2.6, il vient :
f (z)
f (z)
=
1
z
+
∞
n=1
2z
z 2 − n 2 = π cotan πz =
(sin πz)
sin πz
·
La connexité de C\Z implique alors qu’il existe c ∈ C tel que
sin πz
z
= c
∞
n=1
1 −
z 2
n 2
pour z ∈ C ∗ . En faisant tendre z vers 0, on obtient c = π, puisque le second membre
de la ligne précédente est holomorphe, donc continu. On a obtenu :
Proposition. Si z ∈ C, on a :
sin πz = πz
∞
n=1
1 −
z 2
n 2
.